Нестандартные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1 Основные сведения о теории логарифмов.
1.1. Основные теоретические сведения 4
1.2. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств 5
ГЛАВА 2 Нестандартные методы решения логарифмических уравнений и неравенств
2.1. Метод рационализации 6-7
2.2. Решение уравнений и неравенств за счет свойств,
входящих в них функций. 8-9
2.3. Использование числовых неравенств 10
2.4. Метод мажорант (метод оценивания) 11-12
ГЛАВА 3 Использование нестандартных методов при решении
логарифмических уравнений и неравенств ЕГЭ 13-14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 15
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 16

Весь текст будет доступен после покупки

В школьной программе, в олимпиадных заданиях и на экзаменах по ЕГЭ встречаются разные логарифмические уравнения и неравенства. Готовясь к ЕГЭ по математике профильного уровня, мы сталкиваемся с тем, что некоторые задачи по данной теме сложно, а временами и невозможно решить традиционными методами. По этой причине мы приняли решение провести исследование, направленное на изучение нестандартных методов решения логарифмических уравнений и неравенств.
Цель: освоить нестандартные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.
Для достижения данной цели мы поставили следующие задачи:
? познакомиться с основными понятиями по данной теме;
? обобщить традиционные методы решения логарифмических уравнений и неравенств;
? исследовать нестандартные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.
? рассмотреть решения логарифмических уравнений и неравенств задач ЕГЭ нестандартными способами.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1 Основные сведения о теории логарифмов.
1.1. Основные теоретические сведения

Логарифмом положительного числа b, по основанию a, где a > 0, a ? 1, называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b [7].
Определение логарифма можно записать так: ??log?? ?? = ??.
Это равенство справедливо для b > 0, a > 0, a ? 1.
Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:
Пусть a > 0, b > 0, с > 0; p –действительное число, k ? 0, s ? 0, a ? 1. Тогда справедливы формулы [7]:
log a a =1
loga1= 0
log a b p = p log a b
4. ?log?_(a^p ) b = 1/plog a b
5. ?log?_a v(s&b) = 1/s ?log?_ab
6. ?log?_(a^p )bp = log a b
loga(b?c) = loga b + loga c
loga(b/c) = loga b - loga c
Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием [7]. Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием [7].
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо log_10?b [7].
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e – иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln b вместо log_e?b [7].
Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию [7].

log a b = ?log?_c?b/?log?_c?a , где a > 0, b > 0, с > 0, a ? 1, c ? 1.

Уравнения вида log a x = b, где x > 0, a > 0 и a ? 1, логарифмическими [7].
После того как корни логарифмического уравнения обнаружены, необходимо проверить условие: под логарифмическое выражение должно быть больше нуля.












1.2. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Поскольку мы рассматриваем нестандартные методы решения логарифмических уравнений и неравенств по сопоставлению с традиционными методами решения, считаем необходимым кратко остановиться на главных методах решения логарифмических уравнений и неравенств (таблица 1) [1].



Табл. 1
Пример 1. Решить уравнение
log_(x+1)??(x^2+x-6)^2=4? [1].

ОДЗ:{-(?(x^2+x-6)?^2>0@x+1>0@x+1?1)+
?(x+1)?^4=?(x^2+x-6)?^2
?(x^2+2x+1)?^2=?(x^2+x-6)?^2
{-(x^2+2x+1=x^2+x-6,@x^2+2x+1=-x-x^2+6 )+?{-(x=-7@x=1@x=-2,5)+
с учетом ОДЗ, корень уравнения равен 1
Ответ:1








Глава 2 Нестандартные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.
2.1. Метод рационализации
Метод рационализации заключается в замене комплексного выражения F(x) более простым выражением G(x), в котором неравенству G(x)^0 соответствует неравенство F(x)^0 в области определения F(х) [5].
Где f, g, h , p – выражения с переменной х, a – фиксированное сумма или функция (а > 0, a ? 1).

Табл. 2
Из этих выражений можно сделать некоторые выводы (с учетом области определения):
log? ?? • log?? ?? ^0?(? ? 1)(?? ? 1)(?? ? 1)(?? ? 1)^0
log??? + log? ?? ?(????? 1)(? ? 1)^0
??? ? ???? ^0?(?? ? 1)log?? fh ? log?? ????^ 0

В указанных эквивалентных переходах знамение ^ заменяет один из знаков неравенства: >, <, ?, ? [5].

Весь текст будет доступен после покупки

1. Блох, А. Методика обучения математики в средней школе [Текст] /
А. Блох, Е.С. Канин, Е.С. Черкасов и др. – М.: Просвещение, 2015. – 336 с.
2. Бочкарева, В.Д. Сборник задач по математике для поступающих в вузы [Текст] / В.Д. Бочкарева. – М.: ОНИКС-ЛИТ, 2013. – С. 141.
3. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Задания с развёрнутым ответом / Ю.В. Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен», 2023
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математике ЕГЭ 2014. Типовые задания С3. Методы решения неравенств с одной переменной – М.: Легион, 2015 г.
5. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2014. Решаем план С3 методом рационализации. Ростов-на-Дону: Легион, 2013

Весь текст будет доступен после покупки