Нестандартные решения логарифмических уравнений и неравенств

ВВЕДЕНИЕ 3-4
ГЛАВА 1 Основные сведения о теории логарифмов.
1.1. Основные теоретические сведения 5-6
1.2. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств 7
ГЛАВА 2 Нестандартные методы решения логарифмических уравнений и неравенств
2.1. Метод рационализации 8-11
2.2. Решение логарифмических уравнений и неравенств, с помощью
свойств функции, входящих в данные выражения 12-14
2.3. Использование числовых неравенств 15
2.4. Метод мажорант 16-17
2.5. Нестандартные методы при решении логарифмических уравнений и
неравенств из ЕГЭ 18-19
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 20
Список использованной литературы 21

Весь текст будет доступен после покупки

В школьной программе, в олимпиадных заданиях и на экзаменах по ЕГЭ встречаются различные логарифмические уравнения и неравенства. В школьном курсе «Алгебра и начала анализа» рассматриваются методы решения простых логарифмических уравнений, неравенств и их систем. Готовясь к ЕГЭ по математике профильного уровня, мы сталкиваемся с тем, что некоторые задачи по данной теме сложно, а иногда и невозможно решить традиционными методами. По этой причине мы решили провести исследование, направленное на изучение нестандартных методов решения логарифмических уравнений и неравенств.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1 Основные сведения о теории логарифмов.
1.1. Основные теоретические сведения
Логарифмом положительного числа b, по основанию a, где a > 0, a ? 1, называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
Определение логарифма кратко можно записать так: ??log?? ?? = ??. Это равенство справедливо для b > 0, a > 0, a ? 1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.
При преобразовании выражений, содержащих логарифмы, выполнении вычислений и решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.
Пусть а > 0, b > 0, с > 0; p – любое действительное число, k ? 0, s ? 0, a ? 1.
Тогда справедливы формулы:
log a a =1
loga1= 0
log a b p = p log a b
a b
?log?_a v(s&b) = 1/s ?log?_ab
?log?_(a^p )bp = log a b
loga(b?c) = loga b + loga c
loga(b/c) = loga b - loga c

Уравнения вида log a x = b, где x > 0, a > 0 и a ? 1, называются логарифмическими.
После того как корни логарифмического уравнения найдены, необходимо проверить условие: под логарифмическое выражение должно быть больше 0.
Логарифмической функцией называют функцию вида
, где любое положительное число не равное единице.

Рис. 1
Основные свойства логарифмической функции [2]:
Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных чисел;
Областью значения логарифмической функции будет являться все множество действительных чисел;
Если основание логарифмической функции (рис. 1а), то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство (рис. 1б), то на всей области определения функции убывает;
График логарифмической функции всегда проходит через точку
Возрастающая логарифмическая функция будет положительной при , и отрицательной при ;
Убывающая логарифмическая функция будет отрицательной при , и положительной при ;
Функция не является чётной или нечётной. Логарифмическая функция - функция общего вида;
Функция не имеет точек максимума и минимума.

1.2. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.
Поскольку мы рассматриваем некоторые нестандартные методы решения логарифмических уравнений и неравенств по сравнению с традиционными методами решения, считаем необходимым кратко остановиться на основных методах решения логарифмических уравнений и неравенств.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Учебник математика «Алгебра и начала математического анализа, геометрия» 10-11 класс, Ш.А. Алимов, Просвещение 2021 г. – 463 с.
2. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Задания с развёрнутым ответом / Ю.В. Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен», 2023
3. Открытая база данных заданий ЕГЭ по математике, [электронный ресурс] www.mathege.ru
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математике ЕГЭ 2014. Типовые задания С3. Методы решения неравенств с одной переменной. www.alexlarin.net
5. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2014. Решаем задание С3 методом рационализации. Ростов-на-Дону: Легион, 2013
6. Блох, А. Методика преподавания математики в средней школе [Текст] /
А. Блох, Е.С. Канин, Е.С. Черкасов и др. – М.: Просвещение, 2015. – 336 с.
7. Бочкарева, В.Д. Сборник задач по математике для поступающих в вузы [Текст] / В.Д. Бочкарева. – М.: ОНИКС-ЛИТ, 2013. – С. 141.
8. Бочкарева, В.Д. Алгебра [Текст]: учебно-методическое пособие/ В.Д.
Бочкарева. - Саранск: СВМО, 2012. – 40 с

Весь текст будет доступен после покупки