Численная реализация построения параметрических рациональных сплайнов

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЛАЙНОВ 6
2. СПЛАЙН ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 9
3.КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ 12
3.1Определение 12
3.2Алгоритм построения интерполяционных кубических сплайнов 13
4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ 16
4.1 Определение рациональных сплайнов 16
4.2Алгоритм построения интерполяционного рационального сплайна 17
4.3Переодический случай 20
5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ 23
5.1.Интерполяционный параметрический кубический сплайн 25
5.2 Интерполяционный параметрический рациональный сплайн 26
6. МЕТОД ПРОГОНКИ 27
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ 30
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 34
ПРИЛОЖЕНИЕ А. КОД ПРОГРАММЫ 36

Весь текст будет доступен после покупки

В мире вычислительной геометрии, где объекты различной сложности встречаются повсюду, такие как крутые кривые линии, закрученные поверх-ности и острые углы, стандартные подходы аналитической геометрии кажут-ся неэффективными. Они теряют силу перед нестандартными формами и не могут обеспечить точные расчеты и моделирование. Однако, появление сплайнов в этом контексте означает революцию – они представляют собой мощный инструмент для аппроксимации и воссоздания сложных геометри-ческих образов, делая это с гладкостью и точностью, которые ранее казались недостижимыми.
Сплайны играют огромную роль в разнообразных областях человече-ской деятельности, начиная от медицинских исследований и заканчивая ком-пьютерным моделированием. Они эффективно применяются для создания поверхностей в системах 3D-моделирования, решая задачи, которые не мо-гут быть решены другими методами. Одной из основных проблем, с кото-рыми мы сталкиваемся, является представление и хранение геометрической информации. Традиционные методы, такие как графики и чертежи, имеют свои ограничения в точности и масштабе, в то время как сплайны позволяют хранить эту информацию в числовой форме с высокой точностью.
С использованием сплайнов в медицине становится возможным более точно описывать связь между концентрацией вещества в крови и временем, что расширяет возможности медицинских исследователей в изучении биохи-мических процессов в организме.

Весь текст будет доступен после покупки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЛАЙНОВ

Сплaйн - это функция, облaсть определения коей разбита на конечное количество отрезков, на любом из которых сплaйн схож с неким aлгебраическим полиномом. Наибольшая ступень из принятых на вооружение полиномов именуется ступенью сплайна. Разницу меж ступенью сплайна и получившейся гладкостью именуется недостатком сплайна. К примеру, постоянная ломаная есть сплайн ступени 1 и дефекта 1.
Пусть на отрезке [а, b] дано разбиение ?: а = x0Такое масштабное распространение сплайнов, в свою очередь, связано с тем, что они являются, в некотором смысле, наиболее гладкими функциями среди функций, принимающие заданные значения. Сплайны степени выше первой в случае гладкой f(x) отлично приближают не только лишь функцию, но и ее производные.
Определение. Функция Sn,v (x) называется сплайном степени n дефекта v (v — целое число, 0 ? v ? n+1) с узлами на сетке ?, если
а) на каждом отрезке [xi, xi+1] функция Sn,v (x) является многочленом степени n, т. е.

S_(n,?) (x)=?_(?=0)^n-?a_?^i (x-x_i )^? ? для x?[x_i,x_(i+1) ], i=0,…,N-1; (1.1)

б) S_(n,v) (x)?C^(n-v) [a,b].
Определение сплайна целесообразно и на всей вещественной оси, если взять: а = — ?, b = +? . На каждом отрезке [x_i,x_(i+1)] для сплайна, кроме формулы (1.1), можно представить в виде

S_(n,v) (x)= ?_(?=0)^n-??b_?^i (x-x_(i+1))?^?,i=0,…,N-1. (1.2)?

В следствии на полуоси (—?, х1] используется только формула (1.2), а на полуоси [xN-1, ?) используется формула (1.1).
Таким образом, сплайн S_(n,v) (x) имеет непрерывные производные до порядка n-v. Сплайны с производными порядка более n - v, в большинстве случаев, терпят разрывы в точках xi, i = l, ..., N — 1. Для ясности будем полагать, что функция S_(n,v)^((r) ) (x), r>n – v, непрерывна справа, т. е.

S_(n,v)^((r) ) (x_i )= S_(n,v)^((r) ) (x_i+0),r=n-v+1,…,n; i=1,…,N-1.

Огромное количество сплайнов, подходящих к определению, обозначим через S_(n.v) (?). Понятно то, что этому множеству принадлежат и сплайны степени n дефекта v1< v и сплайны степени n1

Весь текст будет доступен после покупки

1. Bolotnov A.M., Glazov N.N., Glazov N.P., Shamshetdinov K.L., Kiselev V.D. Mathematical Model and Algorithm for Computing the Electric Field of Pipeline Cathodic Protection with Extended Anodes // Protection of Metals, 2008. Т. 44. № 4. С. 408–411.
2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 2006. 636 с.
4. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Кузнецов В.И. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2 т. М: Наука, 2005. 343 с., 405 с.
5. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 490 с.
6. Болотнов А.М. Математические модели и алгоритмы расчетов электри-ческих полей в электрохимических системах: учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Издательство "Лань", 2023. 172 с.
7. Болотнов А.М. Методы граничных элементов в расчетах электрических полей электрохимических систем. Уфа: РИО БашГУ, 2002. 144 с.
8. Болотнов А.М. Разработка программных приложений в среде BlackBox: Учебное пособие. Санкт-Петербург: Издательство "Лань", 2018. 144 с.
9. Болотнов А.М. Расчет стационарного токораспределения в условиях смешанной кинетики // Вестник Башкирского университета. 2000. № 1. С. 9–12.
10. Болотнов А.М. Расчет электрического поля в многоэлементной электро-химической системе с нелинейно-поляризующимися электродами // Вест-ник Башкирского университета. 1998. Т. 1. С. 12–15.
11. Болотнов А.М., Башаев М.А., Хисаметдинов Ф.З. Интервальные вычис-ления в алгоритмах расчета электрических полей катодной защиты ма-гистральных трубопроводов // Системы управления и информационные технологии. 2015. Т. 62. № 4. С. 71–74.
12. Болотнов А.М., Бортник С.Ю. О нестандартных интервальных операци-ях вычитания и деления // Вестник Башкирского университета. 2022. Т. 27. № 1. С. 4–8.

Весь текст будет доступен после покупки