Объем многогранника в задачах

Введение 3
1. Теоретические основы изучения темы «Объем многогранника в задачах». 4
1.1. Определение объема. 4
2. Методика изучения темы «Объем многогранника в задачах». 6
2.1. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем призмы. 6
2.2. Методы вычисления объема. Объем цилиндра. 12
2.3. Объем тетраэдра. 18
2.4. Объем пирамиды и конуса 21
2.5. Объем шара и его частей 29
Список литературы. 32

Весь текст будет доступен после покупки

Ключевым аспектом математического обучения является формирование способности учащихся к пространственному восприятию, что способствует более эффективному пониманию геометрических задач и улучшает навыки ориентации в пространстве. Стереометрия – это значимая область геометрии, занимающаяся изучением объемов и характеристик объемных форм. Изучение объемов многоугольных фигур в рамках стереометрии представляет собой ключевую задачу в образовательном процессе, так как способствует развитию пространственного мышления и позволяет эффективно решать задачи, связанные с геометрией.
В условиях современного информационного общества для успешного взаимодействия с миром необходимо обладать надежной базовой математической подготовкой. В этом контексте изучение темы «Объемы фигур» приобретает особую значимость, поскольку знания в этой области являются фундаментом для понимания и изучения других связанных дисциплин, а также для дальнейшего образовательного процесса.

Весь текст будет доступен после покупки

Теоретические основы изучения темы «Объем многогранника в задачах».
1.1. Определение объема.
Определение. Пусть на некотором множестве D_V, являющемся подмножеством множества всех тел, определена функция V такая, что
1°. ?T?D_V :V(T)>0;
2°. если T=T_1? T_2, причем int T_1?int T_2=?, то
V(T)=V(T_1 )=V(T_2 );
3°. если T_1=T_2,то V(T_1 )=V(T_2 );
4°. если ?? – куб с ребром длины 1, ???D_V, то V(K)=1.
Объем тела T? D_V называется значение этой функции для T, т.е. число V(T).
Такой метод определения объекта, основанный на наборе характеристик, к которым он должен соответствовать, носит название аксиоматического определения. А каждое из этих требований к объекту именуется аксиомой.
Итак, объем – это функция с областью определения D_V, удовлетворяющая аксиомам 1°-4°. Аксиома 1° утверждает, что эта функция положительна на своей области определения. Смысл аксиомы 2° заключается в том, что как бы мы ни разбили тело T на неперекрывающиеся тела T_1 и T_2, объем тела T равен сумме объемов тел T_1 и T_2 (при этом T, T_1,T_2 должны, разумеется, принадлежность множеству D_V). Эта аксиома аддитивности объема. Аксиома 3° гласит, что объемы равных тел равны, или что объем не изменяется при перемещениях. Эта аксиома инвариантности объема относительно перемещений. Наконец, аксиомой 4° задается единица объема, ли, как принято говорить, его нормировка. Поэтому объем часто коротко определяют как положительную, аддитивную, инвариантную относительно перемещений нормированную функцию, определенную на некотором подмножестве множества всех тел.
Дав аксиоматическое определение, стоит разобраться в двух ключевых аспектах: во-первых, находится ли какой-либо объект, который соответствует указанным характеристикам; и во-вторых, если такой объект существует, то не является ли он единственным обладателем этих свойств. Оказывается, на всем множестве тел функции, удовлетворяющей аксиомам 1°-4°, не существует. Иными словами, существует тела, не имеющие объема. Поэтому построение теории объема проводится следующим образом. Сначала в качестве области определения функций V рассматривается множество многогранных тел, т. е. тел, которые можно разбить на конечное число неперекрывающихся тетраэдров . Далее доказывается, что объем, определенный на множестве многогранных тел аксиомами 1°-4°, существует и единственен. Затем определяется кубируемое или измеримое тело К как тело, для которого ?_?>0 существует многогранные тела A и B такие, что A?K?B и V(B)-V(A)В дальнейшем будет важно лишь то, что многогранники и тела вращения измеримы.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Калинин A.Ю., Терешин Д. Ф. Геометрия. 10 – 11 классы. – Новое изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2011. – 640 с.
2. Гордин Р. К. ЕГЭ 2018. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2018. – 128 с.
3. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
4. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.

Весь текст будет доступен после покупки