Обоснования истинности математических утверждений как центральная философская проблема современной математики

Введение 3
1. Общие 3
1.1 Обоснование истинности математических утверждении в философии 5
1.2 Концепция истинности в современной математике 12
Заключение 14
Список использованной литературы 16

Весь текст будет доступен после покупки

Математика (от др. греч. ?????? — изучение, наука) – это наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов.
Как известно, одной из сложнейших проблем теории познания является проблема истины: возможно, это самая сложная философская проблема, поэтому нужно сузить рассмотрение этой трудной темы до философского понимания истины в контексте обоснования математики. До конца девятнадцатого века мало кто сомневался в истинности математических теорий, однако с возникновением неевклидовых геометрий, наряду с заботой о непротиворечивости выбираемых систем аксиом, снова пришлось возвращаться к проблеме истинности, но уже на более высоком уровне метаматематического обоснования. В рамках фундаменталистского направления в философии математики математическое утверждение «возводится в ранг истины» посредством доказательства, которое рассматривается как необходимый атрибут математического мышления. Это означает, что в фундаментализме истинным является доказанное математическое знание. Нужно отметить, что «объяснение природы математической истины является центральной темой и в современной философии математики, включающей в себя вопросы эпистемологии и онтологии формальных теорий». Поэтому в философии математики предпринимаются попытки найти соответствующее направление внешнего обоснования математических теорий, которое сводится к ответу на философский вопрос: как можно охарактеризовать математическую истину? При ответе на данный вопрос следует соблюдать осторожность, т.к. понятие истины с необходимостью предполагает наличие некоторой оценки, основание которой пока не совсем ясно, с точки зрения соотношения веры и знания. Но философов математики интересует не только проблема обоснования математики в плоскости эпистемологии или вопрос о природе математического знания в аспекте онтологии, а, прежде всего, вопрос о том, какую функцию истина выполняет в математическом знании. Вопрос об онтологической истинности математических предложений и теорем зависит от философского взгляда на природу самой математики, а также от интерпретации понятия доказательства и метаматематического понятия непротиворечивости. Поэтому, анализируя развитие философских представлений по проблеме обоснования современной математики, нельзя не связать их с актуальной темой «истины в математике», поскольку особенности математического познания находят свое отражение в понимании возможности убедительного доказательства математических теорем в качестве «эталона истины». Утверждение признается математически истинным, если оно, будучи включенным в определенный методологический контекст математической теории, не приводит к противоречиям, а непротиворечивость конкретной математической теории не идеальная цель, а фактически реализуемое состояние. Без концепции истины трудно представить себе современную математику.

Весь текст будет доступен после покупки

1.1 Обоснование истинности математических утверждении в философии

Философия математики - отрасль философии, исследующая природу математических объектов и эпистемологические проблемы математического познания. Философские проблемы математики можно разделить на две основные группы: 1. онтологические и 2. эпистемологические.
Проблема обоснования математического знания сводится к решению двух вопросов, а именно к обоснованию строгости (законченности) математических доказательств и к обоснованию непротиворечивости математических теорий, составляющих фундамент математической науки, прежде всего таких теорий, как арифметика и теория множеств. Иными словами, математика в этом случае изучается в статике. Такой подход называют фундаменталистским.
Фундаменталистская философия математики рассматривает следующие проблемы:
1. диалектико-материалистичекое понимание сущности математики и ее взаимоотношения с объективной действительностью;
2. природа математического доказательства и значимость для обоснования математических теорем ученых в области математики и логики;
3. идеализация, формализация (описание основного исследуемого процесса с помощью символов) и аналогия в математике;
4. понятие бесконечности как математического объекта;
5. конструктивизм и интуиционизм в математике, и их взаимоотношение;
6. раздвоенность «чистой» и «прикладной» математики.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Бессонов, Б. Н. История и философия науки : учебное пособие для вузов / Б. Н. Бессонов. — 2-е изд., доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 293 с.
2. История и философия науки : учебник для вузов / А. С. Мамзин [и др.] ; под общей редакцией А. С. Мамзина, Е. Ю. Сиверцева. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 360 с.
3. Манин Ю. И. Истина как ценность и долг: чему нас учит математика // Математика как метафора. Электронное издание. М.: МЦНМО, 2014. С. 93–105.
4. Никифоров А. Л. Понятие истины в теории познания // Эпистемология и философия науки. 2008. Т. XVI. №2. С. 50–65.
5. Перминов В. Я. Философия и основания математики. М.: Прогресс-Традиция, 2001. 320 с.
6. Султанова Л. Б. Неявное знание в развитии математики: монография. Уфа: РИЦ БашГУ, 2009. 260 с.

Весь текст будет доступен после покупки