РЯДЫ ФУРЬЕ ПО СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ, ОРТОГОНАЛЬНЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ДИСКРЕТНО – НЕПРЕРЫВНОГО СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА СОБОЛЕВА

Введение 3
Глава 1 5
§1.1. Нормированные пространства 5
§ 1.2. Эвклидовы пространства 7
§ 1.3. Ряды Фурье по произвольной ортогональной системе функций 9
Глава 2 13
§ 2.1. Теорема существования и критерий ортогональности 13
§ 2.2. Полиномы Лежандра 17
§ 2.3. Общие свойства ортогональных многочленов 22
§ 2.4. Ортогональные полиномы типа Соболева 24
§ 2.5. Ортонормированные по Соболеву системы функций 28
§ 2.6. Ортогональные по Соболеву полиномы, порожденные полиномами Лежандра p_n^0,0 (x) 32
Глава 3 35
Исследование рядов Фурье по полиномам Соболева порожденным полиномами Лежандра 35
Заключение 47
Список литературы 48

Весь текст будет доступен после покупки

Актуальность. В настоящее время теория полиномов, ортогональных по Соболеву, интенсивно развивается. Достаточно отметить, что число работ, опубликованных на эту тему, уже превышает нескольких сотен. Ряды Фурье по системам функций и полиномов, ортогональным по Соболеву относительно скалярного произведения типа Соболева, и их частичные суммы тесно связаны с задачей Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также с рядом других задач, в которых требуется одновременно приближать дифференцируемые функции и несколько их производных.
Суммы Фурье по ортогональным по Соболеву полиномам p_(r,k) (x) = p_(r,k)^0,0 (x) порожденным полиномами Лежандра, могут быть успешно использованы в задачах, в которых требуется одновременно приближать дифференцируемую функцию и несколько ее производных. С другой стороны, суммы Фурье по ортогональным по Соболеву системам являются весьма удобным инструментом приближенного решения задачи Коши для систем ОДУ, в которой непосредственно возникает в том числе и задача об одновременном приближении дифференцируемой функции и ее производных.
Следовательно, изучение и развитие рядов Фурье по системам функций и полиномов, ортогональным по Соболеву относительно дискретно - непрерывного скалярного произведения типа Соболева представляет не только теоретический интерес, но и имеет практическую значимость.

Предметом исследования являются ряды Фурье по системам функций, ортогональным относительно дискретно – непрерывного скалярного произведения типа Соболева.

Целью работы является изучение систем полиномов ортогональных в смысле Соболева, порожденных полиномами Лежандра и сравнение аппроксимативных свойств в разных модификациях относительно систем полиномов ортогональных в смысле Соболева. В связи с указанной целью ставятся следующие задачи:
Построение графиков функций и частичных сумм Фурье – Соболева.
Численное вычисление полиномов Соболева порожденных полиномами Лежандра.
Нахождение частичных сумм Фурье – Соболева, вычисление погрешностей приближений относительно разных метрик и сравнение скорости приближений в различных метриках частичных сумм по модифицированным системам.

Структура работы.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В главах 1 и 2 рассмотрены ряды Фурье по системам функций и полиномов, ортогональным по Соболеву и порожденные полиномами Лежандра.
В главе 3 на примерах функций исследованы свойства рядов Фурье по полиномам Соболева, порожденным полиномами Лежандра.

 

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1
§1.1. Нормированные пространства
1^°. Определение и примеры нормированных пространств.
Определение 1.1. Пусть L- линейное пространство. Конечный выпуклый функционал р, определенный на L, называется нормой, если он удовлетворяет следующим дополнительным условиям (помимо выпуклости):
p(x)=0 только при x=0,
p(αx)=|α| p(x) для всех α.
Итак, вспоминая определение выпуклости, мы можем сказать, что нормой в L называется конечный функционал, удовлетворяющий следующим трем условиям:
p(x)≥0,при этом p(x)=0 только при x=0,
p(x+y)≤p(x)+p(y), x,y∈L,
p(αx)=|α|p(x),каким бы ни был число α.
Определение 1.2. Линейное пространство L, в котором задана некоторая норма, называется нормированным пространством. Норму элемента x∈L будем обозначать символом ‖x‖.
Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если для любых двух элементов x,y∈L положить
ρ(x,y)=‖x-y‖.
Справедливость аксиом метрического пространства вытекает непосредственно из свойств 1)-3) нормы.
Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Весь текст будет доступен после покупки

1. И. И. Шарапудинов, “Ортогональные по Соболеву системы функций и некоторые их приложения”, УМН, 4(448) (2019), 87–164;
2. F. Marcell´an, Y. Xu, “On Sobolev orthogonal polynomials”, Expo. Math., 33:3 (2015), 308–352.
3. [3] R. Koekoek, Generalizations of Laguerre polynomials, J. Math. Anal. Appl. 153 (1990), 576–590.
4. C. Качмаж, Г. Штейнгауз, Теория ортогональных рядов; Пер. с нем. и обзорная статья [с. 333-456] Р. С. Гутера и П. Л. Ульянова ; Под ред. и с доп. Н. Я. Виленкина. - Москва : Гос. изд-во физ.-матем. лит., 1958. - 507 с.; 23 см.
5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа: [Учебник для мат. специальностей ун-тов] - 2-е изд., перераб. - Москва: Наука, 1968. - 496 с.
6. П. К. Суетин, Классические ортогональные многочлены - 2-е изд., дополн. - Москва: Наука, 1979. - 416 с.

Весь текст будет доступен после покупки