Случай вырожденных базисных решений в задачах математического программирования

Введение 3
§1. Локальная геометрия поверхности 4
§2. Вторая квадратичная форма 17
§3. Вычисление кривизны геликоида 26
Литература 29

Весь текст будет доступен после покупки

В работе изучаются основные положение локальной геометрии гладких поверхностей в евклидовом пространстве. Задание локальных координат и введение метрики на поверхности позволяет определить касательное пространство, расстояние между точками поверхности с последующим нахождением кратчайшего расстояния в смысле геодезических.

Весь текст будет доступен после покупки

§1. Локальная геометрия поверхности
1.1.Координаты на поверхности. Поверхности в трехмерном пространстве-это простейший объект, на котором возникает, как говорят, внутренняя геометрия. Что это значит?
Мы изучали линии и их метрические инварианты на плоскости и в пространстве. Но эти инварианты (кривизна и кручение) являются инвариантами расположения линии -это понятия внешней геометрии. Никаких внутренних метрических инвариантов на линии не бывает. Это означает, что вдоль линии можно выбрать натуральный параметр, в котором длина отрезка (по линии) между точками измеряется так же, как на прямой:
l=?_(t_0)^(t_1)-?|v_t | dt,? v_t=r ?=((x,) ?y ?,z ? ).
Для поверхностей это уже не так: никаким образом нельзя задать координаты на сфере (даже на куске сферы) так, чтобы формулы длины в декартовых координатах (x,y) на евклидовой плоскости.
Каким образом задаются поверхности? Есть три способа задания поверхностей в трехмерном пространстве:
Простейший –это определить ее как график функции
z=f(x,y).
Более общий –уравнением
F(x,y,z)=0.
Параметрически (по аналогии с кривыми): r=r(u,v) или, подробнее, x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), где u,v-параметры, пробегающие какую либо область в плоскости (u,v).
О п р е д е л е н и е 1. Мы будем говорить, что уравнение F(x,y,z)=0 задает поверхность неособую в точке P=(x_0,y_0,z_0 ), где F(x_0,y_0,z_0 )=0, если градиент отличен функции F в точке P отличен от нуля:
?F/?x e_1+?F/?y e_2+?F/?z e_3?0 при x=x_0, y=y_0, z=z_0.
Согласно теореме о неявных функциях, если, скажем, + ?F/?z+|_(x_0,y_0,z_0 )?0, то можно решить уравнение F(x,y,z)=0 около точки P=(x_0,y_0,z_0) относительно z т.е. найти функцию z=f(x,y), для которой f(x_0,y_0 )=z_0 и F(x,y,f(x,y))=0 в некоторой области плоскости (x,y), окружающей точку (x_0,y_0 ). Дифференцируя равенство F(x,y,z)=0, получим
?F/?x dx+?F/?y dy+?F/?z dz=0,
и, значит,
?f/?x=-(?F/?x)/(?F/?z), ?f/?y=-(?F/?y)/(?F/?z).
Следовательно, поверхность, заданную уравнением F(x,y,z)=0, в окрестности неособой точки можно задать в виде графика. Поэтому локально, около неособой точки, всегда можно задать поверхность параметрически: z=f(u,v),x=u,y=v (около точки x_0=u_0,? y?_0=v_0). Иначе говорят так: около неособой точки можно задать локальные координаты (u,v).
Наоборот, пусть поверхность r=r(u,v) задана параметрически:
x=x(u,v),y=y(u,y),z=z(x,y).
О п р е д е л е н и е 2. Точка P=(x_0,y_0,z_0 )=(x,(u_0,v_0 ),y(u_0,v_0 ),z(u_0,v_0 )) называется неособой, если матрица
A?=+ (¦(?x/?u&?y/?u&?z/?u@?x/?v&?y/?v&?z/?v))+|?_(u_0,v_0 )
имеет ранг два.
Т е о р е м а 1. Если поверхность задана параметрически и точка P=(u_0,v_0) неособа, то около этой точки поверхность можно задать уравнением F(x,y,z)=0, где F(x_0,y_0,z_0 )=0, ugrad+ F+|_(x_0,y_0,z_0 )?0.

Весь текст будет доступен после покупки

[1] Фоменко А.Т. Вариационные методы в топологии (Наука, М., 1982)
[2] Борисович А.А. Оператор Плато и бифуркации двумерных минимальных поверхностей, Глобальный анализ и математическая физика (ВГУ, Воронеж, 1987), с. 142-155
[3] Борисович Ю.Г., Стенюхин Л.В. проблема Плато и лагранжев формализм, Труды семинара по векторному и тензорному анализу, Вып. ХХVI (МГУ, Москва, кафедра дифференциальной геометрии и приложений, 2005), с. 110-129.
[4] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения.

Весь текст будет доступен после покупки