Теоретико-модельные и топологические свойства семейств теорий

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Глава 1. Предварительные сведения 13
1.1 Сведения из общей тополигии 13
1.2 Сведения о семействах полных теорий 13
1.2.1 Сведения из теории аппроксимаций и теории моделей псевдоконечных структур 17
1.2.2 Ранги для семейств полных теорий 19
Глава 2. Определимые подсемейства полных теорий 22
2.1 Ранги для семейств теорий в зависимости от заданных языков 22
2.2 Исчисления для семейств теорий 27
2.2.1 Компактность и E-замкнутые семейства 33
2.2.2 Динамика рангов относительно определимых
подсемейств теорий 35
2.3 Алгебры для определимых подсемейств теорий 41
Глава 3. Топологии, ранги и замыкания для семейств полных теорий 46
3.1 Топологии для семейств полных теорий 47
3.2 Ранги и топологии 52
3.3 e-минимальные и Bs-минимальные подсемейства, ранги и степени 56
3.4 Замыкания относительно s-определимых и Bs-определимых подсемейств 61
3.5 Алгебры для Bs-определимых подсемейств семейств теорий 65
3.6 Замыкания 69
3.7 e1-спектры и порождающие подсемейства 78
3.8 Замыкания и ранги для линейно упорядоченных семейств теорий 82
Глава 4. Приложения 89
4.1 Ранги для семейств теорий подстановок 89
Стр.
4.2 Локально свободные алгебры 93
Заключение 97
Список литературы 98

Весь текст будет доступен после покупки

Вопросы изучения топологических свойств объектов дискретной матема- тики и теории моделей привлекают внимание широкого круга специалистов. В этой связи следует отметить монографию Ю.Л. Ершова [1], в которой изложен ряд результатов о топологических пространствах, применяемых в дискретной математике. Е. Лось [2] в 1954 г. высказал гипотезу, что если полная теория ка- тегорична в некоторой несчетной мощности, то она категорична во всех других несчетных мощностях. В 1965 г. М. Морли [3] подтвердил гипотезу Лося и до- казал однородность всех моделей категоричных теорий, одновременно изменив качество исследований в теории моделей, систематически вводя методы работы с типами (локально совместными множествами формул), вводя ранги типов и формул на основе изучения категории топологических пространств n-типов и элементарных вложений.
Классическая теорема Фефермана – Воота [4] для логики первого порядка объясняет, как вычислить значение истинности предложения первого порядка в обобщенном произведении структур первого порядка, сводя это вычисление к вычислению значений истинности других предложений первого порядка в факторах и оценке монадического предложения второго порядка в индексной структуре.
Семейства теорий в общем виде впервые начал исследовать С.В. Судо- платов в 2016 году введя E-операторы и P -операторы [5] на классы структур, порождающих структуры и аппроксимирующие заданные структуры. Эти опе- раторы связаны с естественными топологическими свойствами, относящимися к семействам теорий. Также исследованы комбинация структур, для данных се- мейств структур, относительно семейств одноместных предикатов и отношений
эквивалентности. Охарактеризованы условия сохранения ?-категоричности и
эренфойхтовости для этих комбинаций. Введены понятия e-спектров и описаны возможности для e-спектров.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1. Предварительные сведения


1.1 Сведения из общей тополигии


Напомним основные понятия общей топологии из книги [77].
Определение 1.1.1. Топологическое пространство — это пара (X,O), состоящая из множества X и семейства O открытых подмножеств множества X, удовлетворяющих следующим условиям:
(O1) ? ? O и X ? O;
(O2) если U1 ? O и U2 ? O, то U1 ? U2 ? O; (O3) если O' ? O, то O' ? O.
Определение 1.1.2. Топологическое пространство (X,O) называется T0-пространством, если для любой пары различных элементов x1,x2 ? X суще- ствует открытое множество U ? O, содержащее ровно один из этих элементов.
Определение 1.1.3. Топологическое пространство (X,O) называется
T1-пространством, если для любой пары различных элементов x1,x2 ? X су-
ществует открытое множество U ? O, для которого x1 ? U и x2 ?/ U .
Определение 1.1.4. Топологическое пространство (X,O) называется T2-пространством или хаусдорфовым пространством, если для любой пары различных точек x1,x2 ? X существуют открытые множества U1,U2 ? O такие, что x1 ? U1, x2 ? U2 и U1 ? U2 = ?.

1.2 Сведения о семействах полных теорий


Всюду мы рассматриваем семейства T полных теорий первого порядка языка ? = ?(T ) и полные теории T первого порядка на языках предикатов ?(T ).
Определение 1.2.1. [5] Пусть P = (Pi)i?I — семейство непустых унарных предикатов, (Ai)i?I — семейство структур, в которых Pi является носителем семейства Ai, i ? I, а символы Pi не пересекаются с языками для структур


Aj, j ? I. Структура AP ? Ai, расширенная предикатами Pi, является
P-объединением структур Ai, а оператор отображения (Ai)i?I в AP является P-оператором. Структура AP называется P-комбинацией структур Ai и обо- значается CombP (Ai)i?I, если Ai = (AP ? Ai) ? ?(Ai), i ? I. Структуры A', которые являются элементарно эквивалентным к CombP (Ai)i?I, также будут рассматриваться как P -комбинации.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Ершов, Ю. Л. Топология для дискретной математики / Ю. Л. Ершов. — Сибирское отделение Российской академии наук (Новосибирск), 2020. — отв. ред. В.Л. Селиванов; Институт систем информатики им. А.П. Ершова СО РАН, 334 c.
2. Lo’s, J. On the categoricity in power of elementary deductive systems and some related problems / J. Lo’s // Colloquium Mathematicum. – 1954. – No. 3. – P. 58––62.
3. Morley, M. Categoricity in Power / M. Morley // Transactions of the American Mathematical Society. – 1965. – Vol. 114, no. 2. – P. 514––538.
4. Feferman, S. The first order properties of products of algebraic systems /
S. Feferman, R. Vaught // Fundam. Math. – 1959. – Vol. 47. – P. 57––103.
5. Sudoplatov, S. V. Combinations of structures / S. V. Sudoplatov // The Bul- letin of Irkutsk State University. Series Mathematics. – 2018. – Vol. 24. – P. 82––101.
6. Sudoplatov, S. V. Closures and generating sets related to combinations of struc- tures / S. V. Sudoplatov // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. – 2016. – Vol. 16. – P. 131––144.
7. Sudoplatov, S. V. Families of language uniform theories and their generating sets / S. V. Sudoplatov // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. – 2016. – Vol. 17. – P. 62––76.
8. Sudoplatov, S. V. On semilattices and lattices for families of theories / S. V. Su- doplatov // Siberian Electronic Mathematical Reports. – 2017. – Vol. 14. – P. 980––985.
9. Sudoplatov, S. V. Combinations related to classes of finite and countably cate- gorical structures and their theories / S. V. Sudoplatov // Siberian Electronic Mathematical Reports. – 2017. – Vol. 14. – P. 135––150.

Весь текст будет доступен после покупки