ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ПОРОУПРУГОСТИ В ТРЕХМЕРНЫХ СРЕДАХ

Введение 3
Глава 1 .Численное моделирование задач пороупругости 7
Постановка задачи 7
1.2. Вычислительные алгоритмы для задачи пороупругости 10
1.3. Вариационная формулировка 11
1.4. Конечно-элементная аппроксимация 14
1.5. Дискретизация по времени 17
1.6. Вычислительная реализация 20
1.7. Явно-неявные схемы 21
1.8. Регуляризованные схемы 23
Глава 2. Численные эксперименты 25
2.1. Прикладные программные обеспечения 25
2.2. Задача с заданным давлением 27
Заключение 32
Список использованной литературы 33
Приложение 36

Весь текст будет доступен после покупки

Актуальность работы.
Общепризнанным подходом к проведению теоретических исследований в прикладных проблемах естествознания является вычислительный эксперимент. Успех вычислительного эксперимента определяют
— удачно выбранная математическая модель явления, учитывающая многообразие протекающих процессов, реальную геометрию, физические свойства среды,
— использование эффективного численного метода, построенного на основе глубоко проработанной теории, адекватного в определенном смысле выбранной математической модели, — способ реализации алгоритма на ЭВМ.
При этом разработка эффективных численных методов наряду с увеличением мощности ЭВМ расширяет границы применимости вычислительного эксперименета и обусловливает широкое распространение ориентированных на конкретные прикладные области программных средств, реализованных в виде программных комплексов и пакетов прикладных программ, которые расчитаны на широкий класс пользователей.
В настоящее время численное моделирование задач пороупругости является одним из инструментов, используемых для иссследования процессов разработки месторождений нефти и газа. Модель пороупругой среды (пороупругости) описывает фильтрацию флюида в порах совместно с полноценной механической моделью напряженно-деформированного состояния коллектора. Пористые материалы (коллектор) по определению представляют собой твердые материалы, содержащие большое количество соединенных между собой пор. При этом взаимное соединение пор является достаточным для обеспечения протекания жидкости через материал. Пористые материалы в первую очередь связаны с такими объектами, как горные породы и глины, но и биологические ткани, пеноматериалы и бумажные изделия также попадают в эту категорию. Следовательно, изучение пороупругости имеет большое значение в ряде различных инженерных дисциплин, таких как нефтяная инженерия, аграрная наука и биомедицина. Неодноролные и трещиноватые микроструктуры и высокая контрастность физических свойств являются ключевыми характеристиками современных композитных и могофункциональных материалов. \
Задачи, целью решения которых является изучение процессов фильтрации в насыщенных пористых геологических средах, сопровождаемых изменением папряжепно - деформированного состояния в этих средах, описываются уравнениями Био [Biot М.А., Rice J.R., Cleary М.Р., Николаевский В.Н. и др.]. Математическая модель Био наряду с уравнениями теории фильтрации — балансным уравнением для массы жидкости и выражением для потока согласно закону Дарси — включает уравнения линейной теории упругости для насыщенных; пористых сред. Особенностью рассматриваемого класса задач является необходимость учитывать геологическую неоднородность среды, обусловленную историей развитпя: она состоит из ряда разновозрастных слоев сложной геометрии, резко отличающихся по своим свойствам, порой на несколько порядков. Таким образом, для изучения процессов фильтрации в насыщенных пористых геологических средах необходимо развитие численных методов на нерегулярных сетках. Под нерегулярными сетками здесь понимаются разностные сетки, которые не могут быть получены из прямоугольной гладким преобразованием координат. Наряду с другими методами, в частности, методом конечных элементов [Сьярле Ф., Стренг Г., Фикс Дж., Heinrich В.], широко распространенным подходом к численному решению уравнений математической физики на нерегулярных сетках являются методы конечных разностей. Наиболее широко используются различные конечно-элементные аппроксимации. Особенностью рассматриваемых задач является необходимость аппроксимации как скалярных, так и векторных полей. При приближенном решении задач пороупругости приходиться применять различные аппроксимации для перемещений и давления. Для приближенного решения краевых задач для нестационарных уравнений используются разностные аппроксимации по времени. Традиционно ориентируются на двухслойные разностные схемы первого и второго порядка аппроксимации. Исследование устойчивости проводится на основе общей теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем А.А. Самарского.
Вычислительная реализация традиционных неявных схем для нестационарных систем уравнений с частными производными связана с решением завязанных систем сеточных эллиптических уравнений на новом временном слое. Такие задачи требуют использования специальных итерационных методов, которые максимально учитывают специфику рассматриваемых задач. Особого внимания заслуживают методы многосеточной технологии. Вторая возможность приближенного решения нестационарных задач для систем уравнений связана с использованием схем расщепления, когда переход на новый временной слой связан с решением стандартных сеточных эллиптических задач.
Для приближенного решения многомерных нестационарных задач математической физики широко используются различные классы аддитивных схем (схем расщепления). Наиболее просто строятся аддитивные схемы при расщеплении оператора задачи на сумму двух операторов более простой структуры — схемы переменных направлений, факторизованные схемы, схемы предиктора-корректора и т.д.
В более общем случае многокомпонентного расщепления классы безусловно устойчивых операторно-разностных схем строятся на основе понятия суммарной аппроксимации.
Проблемам построения, обоснования и использования схем расщепления по физическим процессам (перемещение и давление) посвящено настоящее исследование. В первой главе обсуждаются проблемы численного решения краевых задач пороупругости (фильтрационной консолидации). Аналогичные математические модели используются при исследовании термоупругости. Базовая система уравнений включает стационарные уравнения Ламе для перемещений и нестационарные уравнения для давления или температуры. Вычислительный алгоритм основан на конечно-элементной аппроксимации по пространству. Для двухслойных схем с весами формулируются стандартные условия устойчивости. Вычислительная реализация таких схем основана на решении системы связанных уравнений для перемещений и давления (температуры). Строятся схемы расщепления по физическим процессам, когда переход на новый временной слой связывается с решением отдельных эллиптических задач для искомых перемещений и давления (температуры). Безусловно устойчивые аддитивные схемы строятся на основе выбора веса трехслойной схемы. Работоспособность предложенных схем расщепления продемонстрирована на ряде модельных задач.
Задачи пороупругости для пластин рассмотрены во второй главе. Особенностью рассматриваемых математических моделей является то, что перемещения пористой среды описываются одной скалярной величиной — перемещением по нормали к срединной поверхности. В этих задачах пороупругости система состоит из эллиптического уравнения четвертого порядка для перемещений и параболического уравнения для давления. Отмечаются особенности конечно-элементной аппроксимации краевой задачи, строятся чисто неявные двухслойные схемы для системы уравнений пороупругости пластин. Основной результат состоит в построении схем расщепления по физическим процессам. Теоретическое рассмотрение дополняется результатами численных экспериментов.
Научные результаты работы сформулированы в заключении.
Цель работы. Данная дипломная работа посвящена разработке и реализации алгоритма численного решения задач пороупругости в трехмерных средах, описываемых уравнениями Био на основе разностных схем метода конечных элементов.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1 .Численное моделирование задач пороупругости

Постановка задачи
Рассмотрим задачу пороупругости в ограниченной области ? c границей ?. Математическая модель содержит уравнения для перемещения и давления, которые получаются из уравнения равновесия и неразрывности, соответственно. Обозначим вектор смещения пористой среды через ??, а давление фильтрующейся жидкости через ??. В квази-стационарном приближении напряженно-деформированное состояние пористой среды описывается с помощью уравнения равновесия:
div?_t (u,p)= 0, (1.1)
где ?_t– тензор общего напряжения, который для изотропного тела задан через обобщенный закон Гука:
?_t=?-?pI=2??(u)+??_? I-?pI, (1.2)
где ? – тензор эффективного напряжения, ? – коэффициент Био, характеризующий связь между смещением и давлением, ?? – единичный тензор, ? – тензор деформации:
?(u)=1/2(gradu+gradu^T), (1.3)

Весь текст будет доступен после покупки

1. Абрашин В. Н. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики. 1 // Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26. — С. 314–323.
2. Басниев К. С., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. — Москва : Недра, 1993.
3. Вабищевич П.Н., Васильева М.В., Колесов А.Е. Схема расщепления для задач пороупругости и термоупругости // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014. — Т. 54, № 8. — С. 1345–1355.
4. Вабищевич П. Н. Векторные аддитивные разностные схемы для эволюционных уравнений первого порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1996. — Т. 36(3). — С. 44–51.
5. Вабищевич П. Н. Регуляризованные аддитивные операторно-разностные схемы // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2010. — Т. 50, № 3. — С. 449–457.
6. Вабищевич П. Н. Аддитивные операторно-разностные схемы (схемы расщепления). — Москва : КРАСАНД, 2013.
7. Вабищевич П. Н., Григорьев А. В. Схемы расщепления для псевдопараболических уравнений // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, № 7. — С. 837–843.
8. Гордезиани Д. Г., Меладзе Г. В. О моделировании третьей краевой задачи для многомерных параболических уравнений в произвольной области одномерными уравнениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1974. — Т. 14. — С. 246–250.
9. Дияшев Р. Н., Костерин А. В., Скворцов Э. В. Фильтрация жидкости в деформируемых нефтяных пластах. — Казань, 1999.
10. I. Babuska and P. Chatzipantelidis. On solving elliptic stochastic partial differential equations. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 191(37):4093–4122, 2002.
11. I. Babuska, F. Nobile, and R. Tempone. A stochastic collocation method for elliptic partial differential equations with random input data. SIAM J. Numer. Anal., 45(3):1005–1034, 2007.
12. S. Barry and G. Mercer. Exact solution for two-dimensional time dependent flow and deformation within a poroelastic medium. J. Appl. Mech., 66(2):536–540, 1999.
13. E. Bemer, M. Bouteca, O. Vincke, N. Hoteit, and O. Ozanam. Poromechanics: From linear to nonlinear poroelasticity and poroviscoelasticity. Oil & Gas Science and Technologies– Rev. IFP, 56(6):531–544, 2001.
14. A. Bespalov, C.E. Powell, and D. Silvester. A priori error analysis of stochastic Galerkin mixed approximations of elliptic PDEs with random data. SIAM J. Numer. Anal., 50(4):2039–2063, 2012.
15. M. A. Biot. General theory of threedimensional consolidation. J. Appl. Phys., 12(2):155–164, 1941.
16. M. A. Biot. Nonlinear and semilinear rheology of porous solids. J. Geoph. Res., 78(23):4924–4937, 1973.
17. D. Boffi, M. Botti, and D. A. Di Pietro. A nonconforming high-order method for the Biot problem on general meshes. SIAM J. Sci. Comput., 38(3):A1508–A1537, 2016.
18. M. Botti. Advanced polyhedral discretization methods for poromechanical modelling. PhD thesis, Universite de Montpellier, November 2018.
19. M. Botti, D. A. Di Pietro, and P. Sochala. A Hybrid High-Order method for nonlinear elasticity. SIAM J. Numer. Anal., 55(6):2687–2717, 2017.
20. M. Botti, D. A. Di Pietro, and P. Sochala. Analysis of a Hybrid High-Order–discontinuous Galerkin discretization method for nonlinear poroelasticity. Submitted, May 2018.
21. R. H. Cameron and W. T. Martin. The orthogonal development of nonlinear functionals in series of Fourier–Hermite functionals. Ann. Math., 48:385–392, 1947.
22. C.S. Chang. Uncertainty in one-dimensional consolidation analysis. J. Geothec. Eng., 111(12):1411–1424, 1985.
23. J. Charrier. Strong and weak error estimates for elliptic partial differential equations with random coefficients. SIAM J. Numer. Anal., 50(1):216–246, 2012.
24. J. Charrier, R. Scheichl, and A. Teckentrup. Finite element error analysis of elliptic PDEs with random coefficients and its application to multilevel Monte Carlo methods. SIAM J. Numer. Anal., 51(1):322–352, 2013.
25. P. R. Conrad and Y. M. Marzouk. Adaptive Smolyak pseudospectral approximations. SIAM J. Sci. Comp., 35(6):A2643–A2670, 2013.
26. P. G. Constantine, M. S. Eldred, and E. T. Phipps. Sparse pseudospectral approximation method. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 229:1–12, 2012.
27. P. Cosenza, M. Ghoreychi, G. De Marsily, G. Vasseur, and S. Violette. Theoretical prediction of poroelastic properties of argillaceous rocks from in situ specific storage coefficient. Water Resour. Res., 38(10):1207, 2002.
28. O. Coussy. Poromechanics. J. Wiley and Sons, ltd., 2004.
29. T. Crestaux, O. Le Maitre, and J.-M. Martinez. Polynomial chaos expansion for sensitivity analysis. Reliability Engineering & System Safety, 94(7):1161 – 1172, 2009. Special Issue on Sensitivity Analysis.
30. A.A. Darrag and M.A Tawil. The consolidation of soils under stochastic initial excess pore pressure. Applied Mathematical Modelling, 17(11):609–612, 1993.
31. P. Delgado and V. Kumar. A stochastic Galerkin approach to uncertainty quantification in poroelastic media. Applied Mathematics and Computation, 266(1):328–338, 2015.
32. E. Detournay and A. H. D. Cheng. Fundamentals of poroelasticity, pages 113–171. Pergamon Press, 1993.

Весь текст будет доступен после покупки