Интегрирование и скорость сходимости рядов Фурье.

Введение 3
§1 Предварительные сведения 4
1.1 Ряд Фурье. Поточечная сходимость 4
1.2 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 14
§2. Интегрирование рядов Фурье и оценка скорости их сходимости 21
2.1 Сходимость рядов Фурье «в среднем». Полнота и замкнутость 21
2.2 Квадратичное приближение тригонометрическими многочленами. Свойства коэффициентов Фурье. 27
2.3 Точная оценка скорости сходимости рядов Фурье двух переменных. 31
Заключение 39
Список литературы 40

Весь текст будет доступен после покупки

Ряды Фурье, названные в честь французского математика и физика Жана Батиста Жозефа Фурье, представляют собой мощный инструмент математического анализа, позволяющий разложить периодические функции в бесконечный ряд синусов и косинусов. Эта концепция, возникшая в начале 19 века, оказала огромное влияние на развитие различных областей науки, включая физику, акустику, обработку сигналов и многие другие.

В работе рассматривается вопрос об интегрировании рядов Фурье, что позволяет проводить анализ и сравнение методов интегрирования рядов Фурье, также рассмотрение оценки их скорости сходимости.
Задачи, поставленные, включают:
- Рассмотреть теоретические основы рядов Фурье, включая условия сходимости и свойства разложения.
- Изучить различные методы интегрирования рядов Фурье.
- Провести оценку скорости сходимости рядов Фурье.
- Провести точную оценку сходимости двух переменных и показать эффективность различных методов интегрирования.

Весь текст будет доступен после покупки

§1 Предварительные сведения
1.1 Ряд Фурье. Поточечная сходимость

1. Начальные понятия. Постановка задачи.
Функция f(x) называется циклической с периодом T, отличным от нуля, если f(x + T) = f(x) и f(x - T) = f(x) для всех значений x из её области определения. Это означает, что график такой функции повторяет себя через каждые T единиц по оси x. Для построения графика достаточно построить его на интервале длиной T (периоде) и затем скопировать этот интервал по горизонтали на ось x, смещая его на величину T вправо и влево. (рис. 1.1)

Рис. 1.1
Понятно, что если T – период, то числа ±2T,±3T,…,±nT,… – тоже периоды. Наименьший положительный период называется основным периодом. Простейшие периодические функции: sinnx, cosnx и более сложная – синусоидальная величина A sin??(nx+?)?. У них общий период T=2?. (Рис. 1.2)
Определение 1. Функциональный ряд вида
S(x)=a_0/2+?_(n=1)^?-?A_n sin??(nx+?_n)? ?
называется тригонометрическим рядом. Так как члены ряда – периодические функции с общим периодом 2?, то и его сумма S(x), если ряд сходится, есть тоже функция периода 2?: S(x+2?)=S(x). Говорят: S(x) получается пут?м наложения или суперпозиции ряда синусоид. Общий член ряда называется n-ой гармоникой функции S(x), ?_n- фаза, A_n- амплитуда гармоники. Его записывают в виде A_n sin??(nx+?_n )=a_n cos?nx+b_n sin??nx;? ? a_n=A_n sin???_n,? b?_n=A_n cos???_n ?,? так что A_n=v(a_n^2+b_n^2 ), tg?_n=a_n/b_n (если b_n?0).

Рис. 1.2.
Нас будет интересовать задача представления функции тригонометрическим рядом. Здесь возможны две постановки вопроса:
Задача 1. Пусть дана функция f(x) периода 2?. Можно ли ее представить как сумму ряда
f(x)=a_0/2+?_(n=1)^?-?a_n cos?nx+b_n sin??nx,? ? (1.1)
т.е. разложить на гармоники (говорят: сложное колебание разложить на суперпозицию простейших), и если можно, то как найти коэффициенты a_n,b_n? Другими словами, нельзя ли приближенно заменить функцию f (x) периода 2? тригонометрическим многочленом
f(x)?S_n (x)=a_0/2+?_(k=1)^n-?(a_k cos?kx+b_k sin?kx ),? (1.2)
когда n достаточно велико.
Задача 2. Пусть функция f (x) не периодическая, а задана только на промежутке длины 2?, именно на [-?,?] или вообще на [a,a+2?]. Нельзя ли е? на этом промежутке представить в виде ряда (3.1)? Эта задача автоматически сводится к Задаче 1, если функцию f(x) периодически продолжить на всю ось (-?,+?) с периодом 2?, т.е. если рассмотреть функцию
S(x)={-(f(x), aНа концах интервалов значение S(x) можно выбрать произвольно, но как увидим далее, естественно считать
S(a+2?k)=(f(a+0)+f((a+2?)-0))/2. (1.4)
2. Ортогональные системы функций. Понятие ряда Фурье. Предварительно установим некоторые понятия.
Определение 2. Функции ?(x) и ?(x) называются ортогональными на отрезке [a,b], если
(?,?)=?_a^b-?(x)?(x)dx=0.
и пишут ??? на [a,b]; а интеграл называется скалярным произведением функций ?(x) и ?(x) на отрезке [a,b].
Определение 3. Система функций
{?_n (x)} (n=0,1,2,…) (1.5)
называется ортогональной на [a,b], если любые две функции этой системы ортогональны на [a,b], т.е.
?_a^b-??_n (x) ?_k (x) ? dx=0,n?k,и если числа ?_n=?_a^b-??_n^2 (x) ? dx>0.

Число v(?_n ) называют нормой или длиной функции ?_n (x) на отрезке [a,b] и обозначают: v(?_n )=??_n (x)?.
Если дополнительно все ?_n=1, то система (1.5) называется нормальной или ортонормальной на [a,b]. Из ортогональной системы легко получить нормальную – это есть система {(?_n (x))/v(?_n )}.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Фихтенгольц, Г. Н. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. Н. Фихтенгольц. – М., 1966. – Т. 3.
2. Высшая математика. Специальные главы / под ред. П. И. Чинаева. – Киев: Вища школа, 1981.
3. Кручкович, Г. И. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики / Г. И. Кручкович. – М.: Высш. шк., 1971.
4. Шмелев, П. А. Теория рядов в задачах и упражнениях / П. А. Шмелев. – М.: Высш. шк., 1983.
5. Васильева, А. Б. Интегральные уравнения / А. Б. Васильева. – М.: Физматлит, 2002.
6. Интегральные уравнения. Справочная математическая библиотека / под ред. П. П. Забрейко [и др.]. – М.: Наука. – 1968.
7. С.М. Никольский С.М. Курс математического анализа т.II. - 3-изд. доп. и перераб. - М.: Наука, 1983. - 448 с.
8. Основы математического анализа, Часть 2, Ильин В.А., Позняк Э.Г., 2002. – 448 с.
9. Н. В. Латыпова, Л. И. Тучинский, Ряды Фурье: учеб.-метод. пособие. Ижевск: Изд-во "Удмуртский университет" , 2011. 80 с

Весь текст будет доступен после покупки