Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Введение 4
Глава 1. Общие сведения 5
Глава 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоян-ными коэффициентами 6
2.1 Определитель Вронского (Вронскиан) 6
2.2 Алгоритмы решения уравнений 8
Глава 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям второго порядка с постоянными коэффи-циентами 9
Глава 4. Примеры решения 13
Глава 5. Примеры использования в физике 33
Заключение 37
Список литературы 38

Весь текст будет доступен после покупки

Дифференциальные уравнения описывают множество процессов в физике, химии, биологии, технике, экономике, социологии и являются неотъемлемой частью математики. Существует не мало типов дифференциальных уравнений.
В работе рассматриваются линейные однородные дифференциальные уравнения вто-рого порядка с постоянными коэффициентами, алгоритмы их решения, а также понятия, не-обходимые для их понимания и решения.
Цель работы – изучить понятие линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. А так, же рассмотреть варианты решения таких уравнений.
В связи с поставленной целью необходимо выполнить следующие задачи:
1)Изучить линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с посто-янными коэффициентами;
2)Рассмотреть алгоритмы решения уравнений
3) Решить предложенные практические задания.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1. Общие сведения
Уравнение
G(x,y,y^',y^'' )=0, (1.1)
где x- аргумент, y- искомая функция, y^',y^''- производные искомой y, называют дифференциальным уравнением второго порядка.
Решением (1.1) называется любая функция y=f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.
Процесс нахождения решения (1.1) называется его интегрированием.
Общим решением (1.1) называется его решение
y=?(x,C_(1 ),C_2), где C_(1 ),C_2- произвольные постоянные.
Частным решением (1.1) называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.
Пусть (1.1) можно разрешить относительно y^''. Получаем уравнение
y^''=g(x,y,y^' ). (1.2)
Рассмотрим
y(x_0 )=y_00, y^' (x_0 )=y_01. (1.3)
Задача Коши заключается в том, чтобы найти решение (1.2), удовлетворяющее условиям (1.3).
Уравнение вида x^2 y``+xy`+(x^2-v^2 )y=0 называется уравнением Бесселя индекса v .
Уравнением Чебышева называют уравнение вида
(1-x^2 )y^''-xy^'+n^2 y=0, где n –постоянная.








Глава 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
В работе рассматриваются дифференциальные уравнения вида
y``+py`+qy=0, (2.1)
где p и q постоянные величины.
Теорема 1. Если функции y_1=y_1 (x) и y_2=y_2 (x) являются линейно независимыми частными решениями уравнения (2.1), то
y_0=C_1 y_1+C_2 y_2- общее решение уравнения (2.1),
где C_1 и C_2 – произвольные постоянные.
Функции y_1=y_1 (x) и y_2=y_2 (x) называют линейно независимыми на интервале (a;b), если равенство
a_1 y_1+a_2 y_2=0, (2.2)
где a_1,a_2 ?R, выполняется тогда и только тогда, когда a_1=a_2=0.
Если хотя бы одно из чисел a_1 или a_2 отлично от нуля и выполняется равенство (2.2), то функции y_1 и y_2 называются линейно зависимыми на (a;b).
Функции y_1 и y_2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. для всех x?(a;b) выполняется равенство
y_1/y_2 = ?, или y_1=?y_2,?=const.
2.1 Определитель Вронского (Вронскиан)
Средством изучения линейной зависимости системы функций является определитель Вронского или вронскиан.
Для двух дифференцируемых функций y_1=y_1 (x) и y_2=y_2 (x) вронскиан имеет вид
W(x)=|¦(y_1&y_2@?y`?_1&y_2^' )|
Свойства
Теорема 2. Если дифференцируемые функции y_1 (x) и y_2 (x) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.
Теорема 3. Если функции y_1 (x) и y_2 (x)-линейно независимые решения уравнения (2.1) на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.
Из теорем 2 и 3 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (a;b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.
Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (a;b) частных решений y_1 (x) и y_2 (x) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольно решение может быть получено как комбинация
y=a_1 y_1 (x)+a_2 y_2 (x).
Теорема 4. Если два частных решения y_1=y_1 (x) и y_2=y_2 (x) уравнения (2.1) образуют на интервале (a;b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция
y=c_1 y_1+c_2 y_2,где c_1 и c_2-произвольные постоянные.
Пример. Рассмотрим g_1=14x+22 и g_2=14x+24.
Найдем ?g`?_1 и g_2^':
?g`?_1=14, g_2^'=14.
W(x)=|¦(g_1&g_2@?g`?_1&g_2^' )|=|¦(14x+22&14x+24@14&14)|=196x+308-196x-336=-28.
Значит, g_1=14x+22 и g_2=14x+24 линейно независимы на R.
Пример. Рассмотрим g_1=7x+11 и g_2=7x+12.
Найдем ?g`?_1 и g_2^':
?g`?_1=7, g_2^'=7.
W(x)=|¦(g_1&g_2@?g`?_1&g_2^' )|=|¦(7x+11&7x+12@7&7)|=49x+77-49x-84=-7.
Значит, g_1=7x+11 и g_2=7x+12 линейно независимы на R.
Пример. Рассмотрим g_1=7x+11 и g_2=7x+10.
Найдем ?g`?_1 и g_2^':
?g`?_1=7, g_2^'=7.
W(x)=|¦(g_1&g_2@?g`?_1&g_2^' )|=|¦(7x+11&7x+10@7&7)|=49x+77-49x-70=7.
Значит, g_1=7x+11 и g_2=7x+10 линейно независимы на R.
Пример. Рассмотрим g_1=7x+12 и g_2=7x+10.
Найдем ?g`?_1 и g_2^':
?g`?_1=7, g_2^'=7.
W(x)=|¦(g_1&g_2@?g`?_1&g_2^' )|=|¦(7x+12&7x+10@7&7)|=49x+84-49x-70=14.
Значит, g_1=7x+12 и g_2=7x+10 линейно независимы на R.



2.2 Алгоритмы решения уравнений
Рассмотрим уравнение
y``+py`+qy=0, (2.3)
где p и q постоянные величины.
Пусть y=e^kx- решение (2.3). Тогда
(e^kx )``+p(e^kx )`+qe^kx=0,
k^2 e^kx+pke^kx+qe^kx=0,
e^kx (k^2+pk+q)=0,
k^2+pk+q=0. (2.4)
Уравнение (2.4) - характеристическое уравнение.
В зависимости от p и q корни уравнения (2.4) могут быть:
k_1?k_2,k_1,k_2 ?R , общее решение (2.3):
y_0=C_1 e^(k_1 x)+C_2 e^(k_2 x).
k_1=k_2=k_0,k_0 ?R , общее решение (2.3):
y_0=C_1 e^(k_0 x)+C_2 xe^(k_0 x).
k_1=a+i?,k_2=a-i?, общее решение (2.3):
y_0=C_1 e^ax cos??x+C_2 e^ax sin??x.
Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y``+py`+qy=0.
Записываем характеристическое уравнение k2 + p ? k + q = 0.
Находим корни характеристического уравнения k_1 и k_2.
В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в виде:

Весь текст будет доступен после покупки

1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 352 с.
2. Демидович Б. П., Моденов В.П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 288 с.
3. Киясов С.Н., Шурыгин В.В Дифференциальные уравнения. Основы теории, методы решения задач: Учебное пособие. – Казань: Казанский федеральный университет, 2011. –112 с.
4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И., Соболев С.К. Вся высшая математика: Учебник. Т. 3. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. — 240 с.
5. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс – М: Айрис-пресс, 2007 – 592 с.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Ай-рис-пресс, 2009 – 608 с.
7. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. –176 с.
8. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. – М: КомКнига, 2007. – 240 с.
9. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов – М: Высш. шк., 2005– 479 с.
10. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике– М: Высш. шк., 2003– 304 с.
11. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – Москва: Наука, 1965. – 424 с.

Весь текст будет доступен после покупки