Марковская цепь с доходом для перекрестка в случайной среде

Введение 3
Теория массового обслуживания 11
Построение математической модели 13
Заключение 18
Литература 18

Весь текст будет доступен после покупки

Во все времена перед человечеством стояли вопросы решения тех или иных проблем. Одной такой задачей стало решение проблем с массовым обслуживанием. Система массового обслуживания стала идеалом ситуаций, когда мы имеем множество требований, потребителей и операцию, которая нам помогает их всех обслужить за некоторое время. Исследование таких проблем были рассмотрены во многих фундаментальных работах Г. И. Ивченко, В. А. Каштанова, И. Н. Коваленко, Б. В. Гнеденко, В. Ф. Матвеева, В. Г. Ушакова и многих других в нашей стране. В настоящее время развитие массового обслуживания крайне необходимо. Оно применяется в задачах управления транспортными потоками, логистике, в банковском и медицинском обслуживании и во многих других различных сферах.
Фундаментальной проблемой, с которой мы столкнёмся во время исследования данной проблемы, станет построение математической модели. Первые, кто занялся решением, были вынуждены представлять модель в виде плотностей вероятности исследуемых случайных величин или дифференциальных или интегральных уравнений для вероятности некоторых событий. Система массового обслуживания может описываться на содержательном уровне. Она состоит из: входящего потока, формирования очереди и правила обслуживания произвольного требования. За основу моего исследования была взята работа А. В. Зорина “Оптимизация параметров управления конфликтными потоками в классе циклических алгоритмов”. Далее из нее взяты многие выводы и формулы, а также математическая модель.

Весь текст будет доступен после покупки

Теория массового обслуживания
Теория массового обслуживания помогает разобраться, почему традиционная разработка чрезмерно медленная – и что с этим делать. В крупномасштабной разработке часто один поток может быть огромным. Такие потоки вызывают много проблем, о существовании которых мы можем даже не знать. Теория массового обслуживания указывает на некоторые способы улучшения. Потоки, входящие в систему массового обслуживания, часто бывают конфликтными. Такое случается, когда требования разных потоков не могут обслуживаться одновременно и что путем сложения входных потоков нельзя существенно уменьшить их число. Данные потоки часто встречаются в разных областях. Например, существует конфликт транспортных потоков или же пробки. Для того, чтобы наладить потоки в наше время используют различные алгоритмы: циклические, пороговые, циклические с продлениями, с динамическими приоритетами и т.д. Конфликтность решают путем остановки обслуживания требований, по-другому в процесс функционирования обслуживающего устройства вводятся этапы переналадок. В это время происходит решение данных нам проблем.
Урбанизация и быстрое развитие автопрома привели к ухудшению дорожно-транспортной обстановки. Это хорошо ощущается в городах, где в геометрической прогрессии увеличивается количество машин, при этом пропускная способность дорог остается такой же и какие-то изменения могут в любой момент привести к ухудшению состояния.
Такая тенденция ведет к неизбежному появлению многокилометровых пробок. Увеличится время, проведенное в пути водителем, появится затрудненное дорожное движение и, конечно, серьезные экологические проблемы. Поэтому многие страны используются целые компьютеризированные комплексы, включающие в себя много разных приборов. Например, отслеживание скорости водителей с помощью камер с радаром, то есть фото и видео фиксация, различные детекторы, умные светофоры и т.д. Такие комплексы способны подстраиваться под различные ситуации на дороге. Они мониторят все условия, начиная с количества машин, на каком месте они стоят (моменты прибытия машин к стоп-линиям), заканчивая, даже, погодными условиями. После чего подбирают один из нескольких возможных алгоритмов управления, наиболее подходящий к текущей дорожной ситуации. Внедрение интеллектуальных транспортных систем сегодня остается одним из наиболее эффективных и рациональных инструментов минимизации дорожных заторов и перераспределения транспортных потоков.
Во многих системах массового обслуживания важно, чтобы по поступлению различных требований, управляющее устройство было предсказуемым. Участники дорожного движения должны соблюдать правила, например, остановка у знака стоп и отклонения от такой последовательности может быть воспринято как нарушение работы (листья деревьев, кустов, закрыли знак) и, вследствие этого, стать причиной дорожно-транспортных происшествий. Следовательно, представляет интерес изучения циклических алгоритмов с переменными длительностями обслуживаний и переналадок. В качестве экономического критерия естественно рассматривать среднее время пребывания всех требований в системе за один цикл.

Построение математической модели
Для нашей задачи возьмем систему массового обслуживания, в которую с потерями поступают два конфликтных потока П_1,П_2. Предположим, что поступление требований в систему зависит от состояния внешней среды. Получается, что смена состояний марковской цепи происходит в момент окончания актов обслуживания и актов переналадок. Обозначим как a_lk – вероятность перехода из состояния e^((l) ) в состояние e^((k) ), где l,k?{1,2}.
С вероятностью ?_j^((e) ), за промежуток времени ?, поступает одно требование потока П_j. С вероятностью ?1-??_j^((e) ) требование не поступает, j=1,2. Требования потока П_j помещаем в очередь O_j. Длина такой очереди NГ^((2) )>>Г^((3) )>Г^((4) )>Г^((1) )>?, при этом время, за которое обслуживающее устройство проходит от начала Г^((1) ) до конца Г^((4) ), называется циклом. Для каждого цикла выбирается свой режим, делается это в момент времени 0 и в момент смены состояния с Г^((4) ) на Г^((1) ). В режиме r,r=1 ,2 ,…,n, длительность пребывания прибора в состоянии Г^((s) ), s= 1,2,3,4, не случайна и равна T_(s,r) ?. Режим выбирается правилом отображения u(•) целочисленной решетки X=
= {0,1,…,N}? {0,1,…,N} во множестве {1,2,…,n}. Если длины очередей описываются вектором (x_1,x_2 )?X, то выбирается режим с номером r= u(x). Получается, что для такой задачи существует конечное число различных управлений. Будем говорить, что суммарное время пребывания в системе всех требований на промежутке ? — это потери системы за этот промежуток времени. При неограниченном времени функционирования системы, мы должны выбрать управление (при i>?), которое минимизирует предельную скорость роста суммарных потерь за i?1 промежутков.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Зорин А.В. Оптимизация параметров управления конфликтными потоками в классе циклических алгоритмов // Вестник Томского госуниверситета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013, No. 3(24), с. 70-77.
2. Ховард Р. Динамическое программирование и марковские процессы. М.: Сов. радио, 1964. 190 c.
3. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. — Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 1982. — 256 с.
4. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1987 – 336 с.
5. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 242 с.

Весь текст будет доступен после покупки