Подгруппы матричных групп, определяемые наборами аддитивных подгрупп

ВВЕДЕНИЕ ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Обозначения и определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Производный ковер ? = (?ij) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Примеры ковров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Слабо дополняемые ковры над коммутативными кольцами четной характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Примеры замкнутых недополняемых ковров типа Bl и Cl над несовершенными полями характеристики 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Заключение ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Список литературы ........................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Весь текст будет доступен после покупки

В работе обсуждаются матричные и ковры лиева типа над полями и кольцами. Понятие ковра было впервые введено в работе Ю.И. Мерзлякова (Алгебра и логика, 1964 [1]). В 1976 году, описывая параболические подгруппы группы Шевалле над коммутативными локальными кольцами, К. Сузуки [2] определяет ковер типа ? над коммутативным кольцом K как набор его идеалов A = {Ar | r ? ?} с условием ArAs ? Ar+s, r,s,r + s ? ? (1). Через два года, перенося результаты статьи [2] на полулокальные кольца, Н.А. Вавилов [6] называет наборы идеалов с условиями (1) сетями. Определение ковра, принятое в данной работе, принадлежит В.М. Левчуку [9]. Существует ряд открытых проблем, связанных с ковровой тематикой, записанных в Ковровских тетрадях [3, 4]. Один из таких вопросов (Вопрос 7.28, 1982, В.М. Левчук) касается группы Шевалле над коммутативным кольцом K, связанной с системой корней ?, и условий для элементарного ковра типа ? над K, чтобы подгруппа ?xr(Ar) | r ? ?? группы G(K) пересекалась с подгруппой xr(K) по xr(Ar).

Весь текст будет доступен после покупки

Для выполнения наших задач потребуются следующие стандартные обозначения и определения. K представляет собой коммутативное кольцо с единицей, GLn(K) - общая линейная группа, состоящая из матриц с ненулевыми определителями, а SLn(K) - специальная линейная группа, состоящая из матриц с определителем, равным единице. Элементарная трансвекция обозначается как tij(u) = e + ueij, где e - единичная матрица, а eij - матрица, содержащая 1 в позиции (i, j) и 0 в остальных позициях. Подгруппа En(K) является подгруппой, порожденной трансвекциями tij(u), где u ? K, 1 ? i ? j ? n.

Определение 1.1: Ковер называется полным, если для каждого i, j и k от 1 до n выполняется условие ?ik?kj ? ?ij (уравнение 2). Множество Mn(?), состоящее из матриц (aij), где aij ? ?ij для 1 ? i, j ? n, является кольцом относительно обычных матричных операций сложения и умножения, и называется ковровым кольцом. Мультипликативная система Sn(?) = En + Mn(?) является полугруппой с единицей. Максимальная подгруппа из Sn(?) называется общей сетевой подгруппой и обозначается как GLn(?), а её подгруппа матриц SLn(?) с определителем, равным единице, называется специальной ковровой подгруппой.

Определение 1.2: Элементарный ковер представляет собой набор ? = (?ij), где 1 ? i ? j ? n, аддитивных подгрупп кольца K, удовлетворяющих условию ?ik?kj ? ?ij для всех попарно различных i, j и k (уравнение 3). Элементарный ковер может быть удобно представлен таблицей размерности n ? n.

Определение 1.3: Элементарный ковер ? = (?ij), где 1 ? i ? j ? n, называется дополняемым, если существуют аддитивные подгруппы ?ii кольца R такие, что таблица (4) с диагональю ?ii, где 1 ? i ? n, является полным ковром.

Лемма 1.1: Элементарный ковер ? дополняем тогда и только тогда, когда ?ij?ji?ij ? ?ij для всех i ? j (уравнение 5). Этот результат может быть получен, положив ?ii = X?ki?ik для k ? i.

Определение 1.4: По элементарному коверу ? определяется элементарная ковровая подгруппа E(?), которая содержит трансвекции tij(?) для ? ? ?ij и 1 ? i ? j ? n.

Для элементарного ковра ? рассматривается набор ??ij = {? ? K | tij(?) ? E(?)} для i ? j и i, j от 1 до n. Очевидно, что ??ij являются аддитивными подгруппами основного кольца K. В результате коммутаторных соотношений (для попарно различных i,

Весь текст будет доступен после покупки

1 Мерзляков, Ю. И. Центральные ряды и ряды коммутантов матричных групп. / Ю. И. Мерзляков // — Алгебра и логика. — 1964 — Т. 3, № 4. — C. 48—58.
2 Suzuki, K. On parabolic subgroups of Chevalley groups over local rings / K. Suzuki // — Tohoku Math. J., 29 (1976), №1, р.—57–66.
3 Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 17-е изд. // Новосибирск, изд-во ИМ СО РАН, 2010.
4 Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 19-е изд. // Новосибирск, изд-во ИМ СО РАН, 2018.
5 Койбаев, В. А. Сети, ассоциированные с элементарными сетями. /
В. А. Койбаев // — Владикавказ: Владикавказский матем. журн. — 2010 — Т. 12, № 4. — C. 39—43.
6 Вавилов, Н. А. О параболических подгруппах групп Шевалле над полулокальным кольцом // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. — 75(1978). — С.43–58.
7 Койбаев, В. А., Нужин, Я. Н. k-инвариантные сети над алгебраическим расширением поля k. / В. А. Койбаев, Я. Н. Нужин // Cибирский матем.
журн. — 2017 — Т. 58, № 1. — C. 143—147

Весь текст будет доступен после покупки