Стереометрия и 3D-моделирование

ВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………...4
1. СТЕРЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА……………………………………...….6
1.1 История возникновения стереометрии………………………....….6
1.2 Основные фигуры и понятия стереометрии…………………….....7
1.3 Основные аксиомы стереометрии………………………………….9
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ 3Д-МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ……………………………………...12
2.1 Потребность в 3D-моделировании……………………………..…12
2.2 Понятие 3D-моделирования…………………………………….…12
2.3 Решение стереометрической задачи на примере использования программы Cabri 3D………………………………………..............14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………...…18
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………...19

Весь текст будет доступен после покупки

Геометрия помогает человеку научиться логически рассуждать и обосновывать свою точку зрения. Геометрия состоит из двух разделов: планиметрия и стереометрия. И если с планиметрией, как правило, проблем не возникает, то со стереометрией ситуация обратная. Именно стереометрия знакомит обучающихся с разнообразием пространственных форм, законами изображения пространственных фигур, способствует приобретению необходимых практических навыков при измерении основных геометрических величин (площадей, объемов, длин, углов). Для решения стереометрических задач необходимо, чтобы было хорошо развито пространственное воображение. Для того, чтобы его развивать, можно использовать различные методы: можно изготовить модели фигур из различных материалов либо воспользоваться возможностями компьютерных технологий.
На сегодняшний день компьютерные технологии прочно вошли в нашу жизнь, в том числе и в сферу учебы. В связи с этим возник вопрос: возможно ли использование компьютерных программ для изучения стереометрии?

Весь текст будет доступен после покупки

1. СТЕРЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА

1.1 История возникновения стереометрии

Еще в средней школе математика у школьников делится на два раздела: алгебра и геометрия. Геометрия – это наука о геометрических фигурах и их свойствах. Геометрия появилась более тысячи лет назад и по-прежнему продолжает изменяться и развиваться, однако ее основы остаются неизменными.
В свою очередь, геометрия состоит из двух разделов: планиметрия и стереометрия. Планиметрия изучает свойства фигур на плоскости, стереометрия же изучает положение, форму, размеры и свойства различных фигур в пространстве.
Слово стереометрия имеет греческое происхождение и происходит от слов «стерео» - пространственный и «метрия», что значит измерять, т.е. буквально означает «пространственное измерение» [5, c. 8]. Вообще, геометрия возникла и развивалась в связи с практической деятельностью людей.
Письменные источники древности свидетельствуют о том, что более 4000 лет назад у египтян был накоплен внушительный запас знаний по геометрии. Изначально они существовали в виде правил, которые позволяли измерить площади земельных участков, вычислить объемы сосудов, разрешить задачи, которые возникали в процессе строительства. Сохранившиеся до наших дней храмы и гробницы фараонов служат наглядным примеров того, что у египтян был высокий уровень знаний в области геометрии и стереометрии, в частности.
С развитием мореплавания и торговли знания египтян появились в Древней Греции в начале VI в. до н.э. древнегреческий философ Фалес (ок. 625-547 гг. до н. э.) стал одним из тех, кто внес огромный вклад в развитие геометрии. За свою жизнь он совершил множество путешествий, что способствовало освоению геометрических знаний Древнего Египта и Древнего Вавилона. Именно благодаря нему, геометрия возникла как теория. В Древнем Египте геометрия применялась на практике, т.е. носила прикладной характер, ученые Древней Греции развивали ее теоретические основы, благодаря чему появилось множество доказанных фактов, теорем, аксиом [2, c 20-21].
Величайшим представителем геометрической науки был древнегреческий математик и философ Пифагор (ок. 580-500 гг. до н.э.). Теорема Пифагора, таблица умножения и многие другие открытия, сделанные Пифагором ещё до нашей эры, пронеслись сквозь тысячелетия и, наверное, вряд ли когда-нибудь перестанут быть актуальными среди людей.
Особая роль в развитии геометрии принадлежит древнегреческому ученому Евклиду, жившему в Александрии в III в. до н. э. его главной заслугой можно считать то, что он систематизировал все имеющиеся к тому времени геометрические знания и логически изложил из в своем научном труде, который состоял из тринадцати книгах и получивший названия «Начала». В своем труде ученый основывался на воззрениях ученого Древней Греции – Аристотеля (ок. 384-322 гг. до н. э.) и логически строго построил знания о геометрии [10, c. 27].
В настоящее время в геометрии существуют различные методы, например координатный и векторный, которые позволяют переводить геометрические задачи на алгебраический язык и наоборот; развиваются новые виды геометрии: геометрия Лобачевского, которую называют неевклидова геометрия, проектная геометрия, компьютерная геометрия, начертательная геометрия и проч. Геометрические методы используются не только в математике и науке, она широко используется в архитектуре, инженерном деле, живописи, на производстве и в практической деятельности людей [4, c. 131].

1.2 Основные фигуры и понятия стереометрии

В стереометрии существует три основные фигуры – точка, прямая и плоскость. Именно они образуют объемные многогранники или геометрические тела [7, c. 96].
Многогранник – это тело, поверхность которого состоит их определенного числа плоских многоугольников. Данные многоугольники являются гранями объемной фигуры, стороны многоугольников являются ребрами многогранника, а вершины многоугольника – вершинами многогранника.
Все многогранники можно разделить на две группы: выпуклые и невыпуклые. Если многогранник весь расположен по одну сторону от плоскости, которая проходит через любую его грань, то такой многогранник является выпуклым, если нет, то невыпуклым.
Существует огромное количество многогранников, однако можно выделить несколько основных объемных фигур, которые изучаются в стереометрии. Все они являются выпуклыми многогранниками (см. рис. 1).
Куб – это многогранник, который имеет шесть граней, являющимися равными квадратами.
Параллелепипедом называется многогранник, который состоит из шести граней, каждая из которых является параллелограммом. Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими, а если имеют общее ребро, то смежными. При решении задач иногда выделяют две какие-либо противолежащие грани, которые в последующем называются основаниями, а все остальные грани – боковыми гранями, а ребра таких граней, соединяющие вершины оснований – боковыми ребрами параллелепипеда.
Прямым параллелепипед называется параллелепипед, боковые грани которого – прямоугольники, а параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками, называется прямоугольным параллелепипедом. Необходимо отметить, что любой прямоугольный параллелепипед является прямым, однако не любой прямой параллелепипед является прямоугольным. У любого параллелепипеда есть четыре диагонали. Диагональ параллелепипеда – это отрезок, который соединяет противолежащие вершины параллелепипеда.
Призма – это многогранник, две грани которого (основания призмы) являются равными n-угольниками, а остальные nграни (боковые грани призмы) – параллелограммами. Призма, боковые грани которой являются прямоугольниками, называется прямой.
Правильная призма – это призма, боковыми гранями которой являются прямоугольники, а основаниями – правильные n-угольники.
Пирамида – это многогранник, одна грань (основание) которого является n-угольником, а остальные n граней (боковые грани пирамиды) – треугольниками, у которых одна общая вершина. Пирамида, основанием которой является правильный n-угольник, а боковыми гранями – равнобедренные треугольники, называется правильной. Все боковые ребра такой пирамиды равны между собой. Если все грани треугольной птрамиды являются равными между собой треугольниками, то такая пирамида называется тетраэдром. Следует учитывать, что не всякая правильная пирамида является тетраэдром.

1.3 Основные аксиомы стереометрии и следствия из них

В любой области науки существуют аксиомы – это утверждения, которые не требуют доказательств. Доказательства любых теорем строятся на основе аксиом.
В стереометрии можно выделить три основные аксиомы, из которых следуют другие, не менее важные утверждения, и на которых строится доказательства стереометрических теорем.
Аксиома 1. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и причем только одна (см. рис. 2).
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости, т.е. говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую (см. рис.3).
Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой (см. рис. 4).
Следует отметить, что все теоремы и аксиомы планиметрии верны и для стереометрии, т.к. плоскость является частью пространства [3, c. 15].
Из любых аксиом выводятся следствия. Следствие – это утверждение, которое можно вывести из аксиом или теорем. Как и теорема, следствие нуждается в доказательстве.
В стереометрии из основных аксиом выводятся 4 основных следствия:
Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.
Следствие 4. Из аксиомы 2 следует, что прямая, не лежащая в плоскости, не может иметь с плоскостью более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость.
Данные аксиомы и следствия очень важны для правильного построения объемных фигур, решения и доказательства стереометрических задач. именно на их основе строится доказательство стереометрических теорем.

1.4 Сечения многогранников

Основную проблему при решении стереометрических задач вызывает построение сечений многогранников. Сечение – это плоская фигура, полученная при пересечении многогранника (пирамиды, куба, параллелепипеда, призмы и пр.) плоскостью, граница которой лежит на поверхности объемной фигуры [8, c. 74].
Секущая плоскость многогранника – это плоскость, на обеих сторонах которой есть точки данного многогранника. Исходя из этого, можно сделать вывод, что сечение многогранника – это фигура, которая состоит из всех точек, являющихся общими для секущей плоскости и многогранника.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Андерсен Бент Б., Ван Ден Бринк Катя. Мультимедиа в образовании: специализированный учебный курс. 2-е издание; исправлено и дополнено // М.: Дрофа, 2019. 221 с.
2. Алексеева К. В. Использование элементов электронного обучения в процессе обучения решению стереометрических задач / К. В. Алексеева // Вестник Северного (Арктического) Федерального университета. Серия: гуманитарные и социальные науки, 2021. – № 2. – с. 131-137.
3. Атанасян Л. С. Геометрия. Базовый и профильный уровни. 10-11 класс. ФГОС: учебник для учащихся 10-11 кл. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев. М: Просвещение, 2018. – 255 с.
4. Знаменская Е. В. Особенности современного этапа развития школьного математического (геометрического) образования / Е. В. Знаменская. М.: Просвещение, 2020. – 39 с.

Весь текст будет доступен после покупки