Волны в изолированной популяции

Введение 4
1. Популяционная модель 6
1.1. Граничные условия 8
1.2. Устойчивость равновесных состояний 9
1.3. Численные эксперименты 11
2. Популяционная модель с таксисом 15
2.1 Разностные схемы для популяционной модели 21
2.2. Численные эксперименты 27
3. Двумерный случай распространения волны 35
3.1. Численные эксперименты 41
Заключение 46
Список литературы 48
Приложение 55

Весь текст будет доступен после покупки

Из наблюдений за окружающей нас природой следует, что никакой организм любого вида не может жить и продолжать свою жизнь в потомстве в одиночестве – все они образуют группы, называемые популяциями. Характеристикой каждой популяции является ее плотность – численность организмов или их общая биомасса на единицу площади, которую занимает данная группа. Пространство, где популяция живет, называется ареалом популяции.
Наиболее хорошо изучены классические модели, которые изучают популяции, распределенные равномерно по пространству и имеющие одинаковую плотность в каждой точке ареала. Тем не менее, если пространство неоднородно, такое описание будет неверным. Одним из примеров является мозаичность популяционной структуры, вызванная неоднородным распределением трофических (пищевых) ресурсов на ареале. В данной работе мы рассмотрим распределение флуктуации популяционной плотности по ареалу. Этот процесс мы можем назвать "распространением популяционных волн". Самым характерным примером может служить распространение вспышки насекомых-вредителей по лесному массиву.
В природе не существует изолированных популяций, так как каждая популяция взаимодействует со своей биотической (популяции других видов) и абиотической (температура, влажность и т.п.) средой. Тем не менее, для изучения динамики популяции мы можем параметризировать зависимости ее рождаемости и смертности от факторов среды и рассматривать ее в качестве изолированной. Численность популяции на определенной территории зависит непосредственно от множества факторов, включая погодные условия, состав химических соединений в окружающей среде и ее загрязнение. К сожалению, текущая экономическая деятельность человека вызывает необратимое изменение природных систем, делая рациональную эксплуатацию и восстановление природы одной из самых срочных задач нашего времени. Только в гармонии с природой мы сможем обеспечить благополучную жизнь для всех членов нашего общества.

Весь текст будет доступен после покупки

Популяционная модель
В качестве основной модели для изучения пространственно распределенных популяций мы выбираем модель, предложенную А.Н. Колмогоровым, Н.Г. Петровским и Н.С. Пискуновым, основанную на традиционном подходе в динамике популяций. Для упрощения анализа, будем считать пространство одномерным. В [18] была предложена математическая модель обобщенной логистической популяции с ограниченным ростом ее численности, которая описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
?N/?t=F(N) (1)
где непрерывная и дважды дифференцируемая функция F(N) удовлетворяет следующим условия:
F(0)=F(K)=0 (0F^' (N)=r>0 и F^' (N)0. (2)
Функция F(N) называется локальной скоростью роста популяции, r- мультизианским параметром (удельная скорость роста популяции, определяемая как разность между рождаемостью и смертностью особей), K- емкость среды [1, 4, 17, 23].
Правомерно предположить, что условие F(0)=0 естественное, поскольку в отсутствие особей популяция возникнуть не может. В свою очередь, условие F^' (N)>0 обеспечивает рост возникшей популяции, а условие F(N)=0 ограничивает ее численность сверху. Неустойчивой стационарной точкой является t=0 , а устойчивой – t=N (см. рис. 1). При выполнении условий (2) все решения уравнения (1) на промежутке [0,N] монотонно возрастают, выходят из точки t=0=N_0 и асимптотически приближаются к значению t=N при t> ? (см. рис.2). Емкость среды принимается за единицу измерения численности популяции. Логистическая модель F(N)=rN(1-N/K) является обобщенной логистической популяционной моделью.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Александров А.Ю., Платонов А.В., Старков В.Н., Степенко Н.А. Математическое моделирование и исследование устойчивости биологических сообществ. СПб.: Соло, 2006. — 186 с.
2. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2003. — 368 с.
3. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Москва Ижевск:, Институт компьютерных технологий, 2004. — 288 с.
4. Гилев А.В. Закономерности пространственного распределения и научные основы охраны рыжих лесных муравьев // Зоологический журнал. — 2010. — Т. 89. — № 12. — С. 1413—1420.
5. Глызин С.Д. Разностная аппроксимация уравнения «реакция — диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. — 2009. — Т. 16. — № 3. — С. 96—116.
6. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию). М.:Наука, 1973. — 400 с.
7. Горбунова Е.А., Колпак Е.П. Математические модели одиночной популяции // Вест. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. — 2012. — Вып. 4. — С. 18—30.
8. Громов В.С. Пространственно-этологическая структура популяций грызунов. М.: Т-во научн. изданий КМК. 2008. — 581 с.
9. Привалов, И. И. Ряды Фурье : учебник для вузов / И. И. Привалов. — 5-е изд., стер. — Москва : Издательство Юрайт, 2023. — 164 с..
10. Жукова И.В., Колпак Е.П Математическая модель солидной опухоли // Естественные и математические науки в современном мире. — 2013. — № 13. — С. 18—25.

Весь текст будет доступен после покупки