Четырехугольники плоскости лобачевского

-

Весь текст будет доступен после покупки

Целью данной работы является изучение основных свойств аксиоматики гиперболической геометрии, которые применимы для четырехугольников.
Для достижения цели необходимо было выполнить следующие задачи:
1. Изучить соответствующую литературу для исследования раздела «Четырёхугольники плоскости Лобачевского» в гиперболической геометрии.
2. Провести сравнительный анализ Евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского: аксиоматика, треугольники, четырехугольники.
3. Рассмотреть типовые задачи Евклидовой геометрии для четырехугольников, проанализировать возможность их доказательства для гиперболической геометрии.
4. Доказать основные теоремы для четырёхугольников плоскости Лобачевского.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Основные типы фигур в гиперболической геометрии

1.1. Взаимное расположение прямых
На плоскости Евклида две прямые могут иметь три взаимных расположения:
1. Две прямые пересекаются (одна общая точка); 2. Две прямые параллельны (не имеют общих точек); 3. Две прямые совпадают (все точки общие).
На плоскости Лобачевского: если две прямые не имеют общих точек,
то отсюда не следует, что они параллельны между собой.
Лемма 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрестлежащие углы равны, то прямые не параллельны и не пересекаются.
Таким образом, возможны три случая взаимного расположения двух прямых
на плоскости Лобачевского: 1. Прямые пересекаются (одна общая точка); 2. Прямые параллельны; 3. Прямые не пересекаются и не параллельны – расходящиеся (сверхпараллельные).
На евклидовой плоскости все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Но на плоскости Лобачевского картина совершенно другая, о чем свидетельствует следующая теорема:
Теорема 1. Расстояние у от переменной точки одной из двух параллельных прямых до другой прямой монотонно неограниченно возрастает при перемещении точки в сторону, противоположную направлению параллельности, и монотонно убывает, стремясь к нулю, при перемещении точки в сторону параллельности.
При этом расстояние у принимает значение больше нуля.


1.2. Аксиома Лобачевского. Теоремы о сумме углов треугольника
и четырехугольника
Геометрия Лобачевского основана на аксиомах групп I–IV абсолютной геометрии и на аксиоме Лобачевского, которая является отрицанием аксиомы параллельных прямых геометрии Евклида.

Vл. Существует прямая а0 и точка А0, не лежащая на ней, такие, что через точку А0 проходит не менее двух прямых, не пересекающих прямую а0.

Введем понятие дефекта треугольника, которое играет большую роль при изучении свойств геометрических фигур на плоскости Лобачевского.
Дефектом треугольника АВС называется число ?(АВС) = 2d – ?(АВС), где ?(АВС) – сумма мер углов треугольника АВС. В геометрии Евклида, как следует
из теоремы о сумме углов треугольника, дефект любого треугольника равен равен 0.
В геометрии Лобачевского же работают следующие свойства:
10. В абсолютной геометрии дефект любого треугольника есть неотрицательное число.
20. Если точка D лежит на стороне ВС треугольника АВС,
то ?(АВС) = ?(АВD) + ?(АDС). Если при это ?(АВС) = 0, то ?(АВD) = ?(АDС) = 0.
Это свойство следует из свойства 10 и равенства ?(АВС) = ?(АВD) + ?(АDС) – 2d.
30. Если точки В’ и С’ лежат на сторонах АВ и ВС треугольника АВС
и ?(АВС) = 0, то ?(АВ’С’) = 0.

Теорема 1. На плоскости Лобачевского сумма углов любого треугольника
меньше 2d.
Следствие 1. В гиперболической геометрии дефект любого треугольника есть положительное число.
Теорема 2. На плоскости Лобачевского сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4d.
Следствие 2. В любом выпуклом четырехугольнике хотя бы один из его углов острый.
Для n-угольника дефект вводится как разность между 2d(n-2) и суммой его углов. Если многоугольник разбит ломаными на несколько многоугольников, то дефект полного многоугольника равен сумме дефектов его частей.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Атанасян Л.С. Геометрия. 7?9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атансян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. ? 10-е изд. ? Москва: Просвещение, 2019. ? 383 с.:ил
2. Геометрия Лобачевского / Л.С. Атанасян. – 2-е изд., испр. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 464 с. : ил.
3. Атанасян С.Л. Геометрия 2 : учебное пособие / С.Л. Атанасян, В.Г. Покровский, В.Г. Ушаков. — эл. изд. — Москва: Лаборатория знаний, 2015. — 547 с
4. Каган В.Ф. Лобачевский. – М., 1948
5. Александров П.С. Николай Иванович Лобачевский. «Квант». 1976. № 2.

Весь текст будет доступен после покупки