Приложение дифференциальных уравнений к решению геометрических задач

Введение 2
Глава 1. Теоретические сведения о дифференциальтных уравнениях 4
1.1 Основные понятия и определения 4
1.2 Уравнения с разделяющимися переменными 8
1.3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 13
1.4 Уравнения в полных дифференциальных формах 17
1.5 Геометрическая интерпретация решений 21
Глава 2. Решение геометрических задач с применением дифференциальных уравнений 25
2.1 Задача1 о построении кривой, касательной в точке, угловой коэффициент которой равен квадрату ординаты 25
2.2 Задача2 о площади между кривой и осью Ox, выраженная через логарифмическую функцию 28
2.3 Задача3 о делении прямоугольника на части с заданным отношением площадей 31
2.4 Задача 4 о радиус-векторе, который равен длине отрезка касательной 35
2.5 Задача5 о площади, равной одной трети площади прямоугольника 38
Заключение 42
Библиографический список 44

Весь текст будет доступен после покупки

Изучение дифференциальных уравнений занимает центральное место в математическом анализе и прикладной математике. Эти уравнения позволяют описывать законы изменения величин, зависящих от других переменных. Их использование охватывает широкий круг задач, включая процессы в физике, технике, биологии, экономике и, в частности, в геометрии. Одним из направлений применения является исследование и построение геометрических кривых, свойства которых заданы через соотношения между координатами, производными или другими характеристиками.
Целью данной работы является исследование возможностей применения дифференциальных уравнений к решению геометрических задач. В рамках исследования рассматриваются уравнения, с помощью которых можно формализовать условия, накладываемые на геометрические объекты. При этом акцент делается на уравнения первого порядка, так как именно они наиболее часто используются в геометрических построениях, связанных с касательными, нормалями, площадями и кривизной.
Задачи, решаемые в работе, отобраны из задачника Наума Яковлевича Виленкина и других, хорошо зарекомендовавшего себя как источник классических математических задач. Данные задачи позволяют на конкретных примерах продемонстрировать, как аналитические методы решения уравнений используются для получения уравнений кривых, обладающих заданными геометрическими свойствами. Примеры охватывают разные типы условий – от зависимостей между координатами и касательными до соотношений площадей и радиус-векторов.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1. Теоретические сведения о дифференциальных уравнениях
1.1 Основные понятия и определения
Дифференциальное уравнение – это уравнение, в которое входит производная неизвестной функции. Обычно исследуемая функция зависит от одного или нескольких независимых переменных. Уравнение может включать как саму функцию, так и ее производные различных порядков. Дифференциальные уравнения широко применяются для описания процессов в механике, физике, биологии, экономике и геометрии. Они позволяют формализовать понятие закона изменения величины, зависящей от других переменных [3].
Наиболее простым случаем является обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид
y' = f(x,y)
где y – неизвестная функция от переменной x; f – заданная функция.
Производная y' представляет собой скорость изменения функции y по переменной x. Такие уравнения позволяют описывать множество геометрических и физических процессов. Классическим примером является уравнение y' = y, описывающее экспоненциальный рост. Его решением является функция вида
y = Ce?
где C – произвольная постоянная.
Уравнения с разделяющимися переменными представляют собой случай, когда правую часть уравнения y' = f(x,y) можно разложить в произведение двух функций: одна зависит только от x, а другая – только от y. Тогда уравнение принимает форму
dy/dx = g(x)h(y)
и его можно переписать как:
(dy )/(h(y))= g(x)dx
Это позволяет проинтегрировать обе части по соответствующим переменным, что дает возможность аналитически решать многие задачи, возникающие в геометрии, где изменения координат зависят от соотношений между ними [5].

Весь текст будет доступен после покупки

Учебники и монографии
1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: МЦНМО, 2024. – 344 с.
2. Барашков А. С. Вузовская математика в ответах на экзаменационные вопросы и задачи: учебное пособие по курсу «Высшая математика» для студентов, обучающихся по всем направлениям подготовки. Ч. 2: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Векторный анализ. – М.: Изд-во МЭИ, 2018. – 129 с.
3. Зайцев В. Ф., Линчук Л. В., Флегонтов А. В. Дифференциальные уравнения (структурная теория): Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2021. – 503 с.
4. Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения: учебник и практикум для вузов. – М.: Издательство Юрайт, 2024. – 435 с.
5. Опойцев В. И. Лекции по математике. Том 2. Дифференциальные уравнения. 4-е изд. – М.: В. Босс, 2020. – 251 с.
6. Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. Серия «Классический университетский учебник»– М.: ФИЗМАТЛИТ, 4-е изд. – 407 с.
7. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. 2-е изд., испр. – М.: КомКнига, 2007. – 249 с.
8. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения. – М.: Гостехиздат, 1957. – 272 с.
Интернет-источники
9. Арнольд, В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 2022. URL: https://books.google.com/books?id=VLDDBgAAQBAJ(дата обращения: 11.05.2025).
10. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматлит, 2022. URL: https://books.google.com/books?id=o6C9BgAAQBAJ(дата обращения: 11.05.2025).
11. Белозерова, С. А. Связности с кручением и неголономная геометрия // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2016. URL: https://diffjournal.spbu.ru/pdf/herzen2016.pdf#page=175(дата обращения: 11.05.2025).
12. Борисова, И. В. Использование дифференциальных уравнений в военно-прикладных задачах // Вестник военного образования. 2016. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=29431539(дата обращения: 11.05.2025).
13. Векшина, Н. В. Применение системы компьютерной математики Maple для решения задач дифференциальной геометрии // Информационные технологии в образовании и науке. 2014. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-sistemy-kompyuternoy-matematiki-maple-dlya-resheniya-zadach-differentsialnoy-geometrii.pdf(дата обращения: 11.05.2025).

Весь текст будет доступен после покупки