Применение вычислительной техники при решении некоторых задач теории чисел

ВВЕДЕНИЕ………..………..………..………..………..…………………………3
Глава 1 Теоретические основы теории чисел.………..………..………..……….5
1.1 Понятие теории чисел .………..………..………..………..………..…………5
1.2 Обзор существующих вычислительных методов решения задач с элементами теории чисел .………..………..………..………..………..………..12
Глава 2 Применение вычислительной техники при решении некоторых задач теории чисел.………..………..………..………..………..………………………17
2.1 Использование ЭВМ при решении некоторых задач теории чисел………17
2.2 Применение элементарной теории чисел в программировании ………….23
2.3 Кодирование с открытым ключом, схема RSA…………………………….28
2.4 Алгоритмические задачи, связанные со схемой RSA……………………..32
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .………..………..………..………..………..…………………..41
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.………..….………..………..………..…43

Весь текст будет доступен после покупки

Современный мир все больше зависит от использования информационных технологий, и теория чисел не является исключением. Применение вычислительной техники в этой области математики открывает новые возможности для решения сложных задач и проведения исследований.
В данной работе будет рассмотрено применение вычислительной техники при решении некоторых задач теории чисел, что является актуальной и интересной темой в контексте современных информационных технологий.
Актуальность исследования. С ростом объемов данных и возрастанием сложности задач в области теории чисел становится все более актуальным использование компьютерных методов для их решения. Вместе с тем, применение вычислительной техники позволяет не только эффективно решать классические задачи теории чисел, но и открывает новые перспективы в различных областях, таких как криптография, информационная безопасность и программирование.
Цель исследования работы заключается в исследовании и анализе применения вычислительной техники в теории чисел, а также в изучении методов, используемых при решении задач этой области математики с помощью компьютера.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1 Теоретические основы теории чисел
1.1 Понятие теории чисел

Арифметика, одна из древнейших математических дисциплин, воплотила в себе теорию чисел, которая была предметом интереса во все времена.
Теория чисел – раздел чистой математики, занимающийся изучением целых чисел 0, ±1, ±2,... и соотношений между ними. В первую очередь в теории чисел ставятся и решаются те проблемы, которые важны для математики и вычислительной науки в целом, представляются исторически важными, – порой настолько, что за решение сразу выдают премию и награды.
Теорию чисел могут условно разбивать на разделы:
Элементарная теория чисел, изучающая элементарные связи и свойства чисел, сравнения, неопределённые уравнения.
Алгебраическая теория чисел, изучающая алгебраические числа и их применения к решению задач, связанных с натуральными или целыми числами.
Аналитическая теория чисел, применяющая методы анализа.
В отдельный раздел теории чисел могут выделяться задачи, предметом которых являются диофантовы приближения (алгебраических и трансцендентных чисел рациональными числами), теорию трансцендентных чисел, геометрическую теорию чисел.
Рациональное число – число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Любое рациональное число представимо в виде периодической бесконечной десятичной дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q.
Если действительное число не является рациональным, то оно иррациональное число.
Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа бесконечны и не периодичны. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I.
Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами. Любое неалгебраическое число называется трансцендентным.
Некоторые свойства:
Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел).
Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел Q и множество натуральных чисел N эквивалентны, то есть между ними можно установить взаимно - однозначное соответствие (все элементы множества рациональных чисел можно перенумеровать).
Множество Q рациональных чисел является замкнутым относительно сложения, вычитания, умножения и деления, то есть сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными числами.
Все рациональные числа являются алгебраическими (обратное утверждение – неверное).
Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число (а значит, и бесконечное множество иррациональных чисел).

Весь текст будет доступен после покупки

1. Алексеева Е.Е., Бартфельд Е.М. Средство технического обучения для реализации интеграции математики и информатики в средней школе // International Journal of Advanced Studies in Education and Sociology. 2023. № 1. – С. 47-52.
2. Алтухова С.В., Крутиков М.А. Практика формирования 4к-компетенций учащихся с применением цифровой образовательной платформы "яндекс.учебник" // Вопросы педагогики. 2022. № 3-2. – С. 22-27.
3. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для студентов- заочников II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов (Н. А. Казачек,Г. Н. Перлатов, Н. Я. Виленкин, А. И. Бородин; Под ред. Н. Я. Виленкина. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1984. –192 с.
4. Бухштаб А.А. Теория чисел: уч. пос. СПб.; – М.: Краснодар: Лань, 2008. - 384 с.
5. Барбаумов, В.Е. Математический анализ: N-мерное пространство. Функции. Экстремумы: Учебник / В.Е. Барбаумов, Н.В. Попова. – М.: Инфра-М, 2018. – 480 c.
6. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Лань, 2004 (десятое издание). – 176 с.
7. Гвоздев В.Е., Маликов Р.Ф., Исхаков А.Р., Курунова Р.Р., Абдрафиков М.А. Управление программными проектами. Учебное пособие. Сер. 76 Высшее образование. – М.: 2023.
8. Горлач, Б.А. Математический анализ / Б.А. Горлач. – СПб.: Лань, 2018. – 608 c.
9. Зорич, В.А Математический анализ. Часть 1 / В.А Зорич. – М.: МЦНМО, 2018. – 564 c.
10. Ильин, В. А. Математический анализ в 2 ч. Часть 1 в 2 кн. Книга 1: учебник для вузов / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2022 – 324 с. https://urait.ru/bcode/491294

Весь текст будет доступен после покупки