Силовские подгруппы в группе S4

Введение………………………………………………………………..….4
Глава1: Известные результаты в теории групп……………………..…..6
1.1. Общие определения и теорем теории групп………………………6
1.2. Теоремы Силова……………………………………………….…..11
1.3. Приложения теоремы Силова………………………………….….14
1.4. Примеры Силовских подгрупп ……………………………….…15
Глава 2: Силовские подгруппы в группе S4……………………………17
Заключение……………………………………………………………….21
Список использованной литературы…………………………………...22

Весь текст будет доступен после покупки

Известно, что теорема Лагранжа не гарантирует существование подгрупп с указанным делителем порядка группы. Нас интересует строение некоторых конечных групп, для чего необходима более расширенная теория, связанная с теоремами Силова, доказанными норвежским математиком Л. Силовым в 1872 году.
Понятие группы, возникшее на стыке XVIII–XIX веков из работ Лагранжа, Руффини, Абеля и Галуа, явилось обобщением фундаментальных свойств симметрии, роль которой в науке общеизвестна. Это понятие оказалось чрезвычайно плодотворным благодаря, с одной стороны, формальной простоте, а с другой – универсальности. Последняя состоит в том, что с любым реальным или мыслимым объектом можно связать группу его “симметрий”, т. е. некоторых обратимых преобразований, оставляющих данный объект инвариантным и одновременно сохраняющих какие-либо его заранее зафиксированные свойства. Многие разделы математики и естествознания используют язык теории групп в качестве рабочего, а некоторые важные и сложные проблемы даже получили благодаря переходу на этот язык исчерпывающее решение (теория Галуа, теория Вессио–Пикара, классификация Федорова кристаллов и т. д.).
Одной из фундаментальных задач теории групп является изучение подгрупп нового строения данной группы.
Важным является случай, когда группа конечна, т. е. содержит конечное число элементов. Это число, называемое порядком группы, служит ее естественной арифметической характеристикой и определяет многие ее свойства.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1 : Известные результаты в теории групп
1.1. Общие определения теорем теории групп.
Группа - один из основных типов алгебраических систем. Теория группа. изучает в самой общей форме свойства алгебраических операций, наиболее часто встречающихся в математике и ее приложениях (примеры таких операций - умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т. д.). Понятие Группа. явилось исторически одним из первых примеров абстрактных алгебраических систем и послужило во многих отношениях образцом при перестройке других математических дисциплин на рубеже 19-20 вв., в результате которой понятие математической системы (структуры) стало основным в математике.
Определение. Группа, порожденная одним элементом a, называется циклической и обозначается<а>.
Определение. Левым смежным классом группы G по подгруппе H называется множество xH={ xh | h ?H }. Элемент x называется представителем смежного класса. Правый смежный класс определяется аналогично. Свойства смежных классов:
1) смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают;
2) смежные классы равномощны;
3) элементы a,b содержатся в одном смежном классе по подгруппе H, если b-1a?H.
Теорема Лагранжа. Для любой подгруппы H конечной группы |G| = |G : H| |H|.
Следствие. Порядок подгруппы делит порядок группы.
Следствие. Порядок элемента делит порядок группы.
Определение. Группой называется произвольное множество G с одной бинарной операцией, удовлетворяющей следующим аксиомам (если операцию записывать как умножение):
1) операция ассоциативна, т. е.(аb)с =.а(bс) для любых а, b, с из G;
2) операция гарантирует единицу, т. е. в G существует такой элемент е, называется единицей, что ae=ea=a для любого а из G;
3) операция гарантирует обратные элементы, т. е. для любого а из G существует в G такой элемент х, называется обратным к а, что ax=xa=e.
Иногда вместо системы аксиом 1) - 3) пользуются равносильной системой из двух аксиом: 1) и 4) операция гарантирует левые и правые частные, то есть для любых двух элементов а, b из G существуют в G такие элементы х, у, называется левым частным и правым частным от деления b на а, что ах = b, уа= b.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Е. В. Закасовская Основные понятия терии групп в примерах и задачах, учебное электронное издание, Владивосток, Дальневосточный Федеральный Университет,2013 - 66 стр.
2. Калужнин Л. А., Сущанский В. И. «Преобразования и перестановки» - М.:Наука, 1985 – 160 стр.
3. Каргапалов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп - М.: Наука, 1972 - 287 стр.
4. Кострикин А. И. Введение в алгебру – М.: Наука, 1977 - 497 стр.
5. Курош А. Г. Теория групп - М.: Наука, 1967 - 648 стр.
8. Сенашов В. И. Основы теории групп - Красноярск ИПК СФУ 2008 - 61 стр.
9. Салчак Ш. А. – статья «Силовские подгруппы» 2015 г // Сборник научных работ студентов ТувГУ. Выпуск XIII: - Кызыл: РИО ТувГУ.
10. Салчак Ш. А. – статья «Силовсие подгруппы преобразования пространственных фигур» 2016 г // Сборник научных работ студентов ТувГУ. Выпуск XIV: - Кызыл: РИО ТувГУ.
11. Сенашов В. И. Графы групп //Информационные технологии в математике и математической образовании: материалы IV Всероссийского научно- методической конференции с международным участием» Красноярск 18 – 19 октября 2015 г. (В. Р. Майер (отв. ред.).; ред. кол.: Красноярский государственный университет имени В. П. Астафьева. 94-99 стр.

Весь текст будет доступен после покупки