Симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения

Введение 3
2.1. Симметрические многочлены 4
2.2. Применение симметрических многочленов в решении задач 5
2.3 Применение решений симметричных выражений на практике 7
2.4 Симметрические уравнения и способы их решения 9
Заключение 11
Список литературы 11
Приложение 1 12

Весь текст будет доступен после покупки

От самых истоков человеческого знания и до наших дней, понятие симметрии является сквозной нитью в истории человечества. Зародившись из внимательного изучения живых организмов, в особенности человека, оно уже в V веке до нашей эры активно применялось скульпторами. Греческое слово "симметрия" изначально означало "соразмерность" и "пропорциональность", описывая гармоничное расположение частей. Однако сегодня его смысл значительно расширился, охватывая неизменность не только объектов, но и физических явлений, математических формул и уравнений при различных операциях.
Математики всегда стремились к элегантности своих формул, считая, что красота неразрывно связана с большей симметрией. Как точно подметил Герман Вейль, симметрия, независимо от широты ее толкования, служит для человека инструментом для постижения и создания порядка, красоты и совершенства.

Весь текст будет доступен после покупки

2.1. Симметрические многочлены
Выражения, симметрические относительно корней уравнения, — это такие алгебраические выражения, которые зависят только от сумм и произведений корней, но не от их отдельных значений.
Многочлен от x и y называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x.
Многочлен х2у+ху2— симметрический.
Многочлен x3 + 4y2 не является симметрическим. Так как при замене переменных превращается в другой многочлен y3 +4x2.
Рассмотрим некоторые свойства симметрических многочленов из арифметики:
1) x + y = y + x для любых чисел x и y. Закон сложения: при перестановке слагаемых сумма чисел не меняется. Это равенство показывает, что многочлен x + y является симметрическим.
2) xy = yx для любых чисел x и y. Закон умножения: при перестановке множителей произведение не меняется, значит и это многочлен является симметрическим многочленом.
Симметрические многочлены x + y и xy являются самыми простыми. Будем их называть элементарными симметрическими многочленами от x и y.
Симметрическими являются следующие алгебраические выражения:
(а+b)1= a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+d)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
Если рассматривать арифметический треугольник Паскаля, то этот процесс можно продолжать бесконечно.

На вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину.
2.2. Применение симметрических многочленов в решении задач
1) Рассмотрим простейшие симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения применяя теорему Виета.
Теорема 1 (теорема Виета). Если ??1 и ??2 – корни квадратного трехчлена
??2 + ???? + ??=0, то их сумма равна коэффициенту при ?? с противоположным знаком, а произведение свободному члену {-(х_1+х_2=-p@х_(1 ) х_2=q) ,+
Теорема 2 (обратная теорема Виета). Если переменные ??1 и ??2, удовлетворяют условиям {-(х_1+х_2=-p@х_(1 ) х_2=q) ,+ то они являются корнями квадратного трехчлена ??2 + ???? + ??=0.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Болтянский В.Г. и др. Симметрия в алгебре. - М.: Наука, 1967.
2. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. - М.: Наука, 1971.
3. Черкасов О.Ю. и др. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. - М.: АСТ-Пресс, 2001.
4. Макарычев Ю. А. и др., Алгебра 8 класс, углубленный уровень. - Москва: «Просвещение».

Весь текст будет доступен после покупки