Формирование современной алгебры и теории чисел на рубеже ХIХ–ХХ в.в.

ВВЕДЕНИЕ 3
§1. Эволюция алгебры в XIX – первой трети XX века 5
§2. Аналитическая теория чисел 14
§3. Рождение функционального анализа 18
§4. Развитие теории вероятностей во второй половине XIX - первой трети ХХ века 22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 28

Весь текст будет доступен после покупки

Переход от XIX к XX веку отметил собой важнейший этап в истории математики. Это было время, когда классические подходы начали уступать место формированию тех фундаментальных основ, на которых сегодня строится современная алгебра и теория чисел. Этот период характеризовался не только интенсивным развитием уже существующих математических областей, но и появлением совершенно новых концепций, которые оказали фундаментальное влияние на структуру математической мысли. Отказ от интуитивных представлений в пользу строгой аксиоматики, возрастающая абстракция и стремление к обобщению стали отличительными чертами этого времени, заложив фундамент для всех последующих достижений в этих областях.
Начиная с середины XIX века, центр тяжести в алгебраических исследованиях постепенно перемещается с теории уравнений на изучение произвольных алгебраических операций. Дальнейший прогресс оказался возможным только после постепенного расширения и углубления понятия числа, а также в результате появления разнообразных примеров алгебраических операций над объектами иной природы, чем числа.
Явное выделение абстрактного понятия алгебраической операции было сделано в середине XIX века в связи с исследованиями природы комплексных чисел. Возникают алгебра логики Д. Буля, внешние алгебры Г. Грассмана, кватернионы У. Гамильтона. Матричное исчисление создаёт А. Кэли, а К. Жордан публикует большой трактат о группах подстановок.
К концу XIX века математика столкнулась с рядом проблем, которые требовали переосмысления фундаментальных понятий. В алгебре, несмотря на значительные успехи в теории групп и полей, ощущалась потребность в более общих структурах, способных объединить различные алгебраические объекты. В теории чисел, несмотря на впечатляющие результаты Гаусса, Дирихле, Куммера, оставались нерешенными многие глубокие проблемы, а методы, основанные на аналитических подходах, не всегда давали исчерпывающие ответы.
Современная точка зрения на алгебру как на общую теорию алгебраических операций сформировалась в начале XX века под влиянием работ Д. Гильберта, Э. Штейница, Э. Артина, Э. Нётер и окончательно утвердилась с выходом в 1930 г. монографии Б. Ван дер Вардена «Современная алгебра».

Весь текст будет доступен после покупки

§1. Эволюция алгебры в XIX – первой трети XX века
В XIX в. произошло настолько радикальное изменение алгебры, что по сравнению с началом XIX в. к его концу (а точнее, к 20-м гг XX в.) изменился сам предмет науки, ее основные понятия и методы, а также ее место в математике. К концу XVIII в. алгебра была на окраине математики (в отличие от, например, математического анализа), хотя уже были признаны комплексные числа, существовала некоторая теория линейных уравнений, намечалась будущая теория уравнений произвольных высоких степеней от одной переменной. А уже к началу XX в. новые алгебраические понятия и алгебраический дух пронизывали почти всю математику, появилась тенденция к ее алгебраизации. Возникли алгебраическая теория чисел, алгебраическая геометрия, теория групп Ли [11].
До 70-х годов XIX в. происходил в основном скрытый период роста алгебры. B этот период только часть уже созданных новых алгебраических теорий явно вошла в математику. К ним относятся начала теории групп, полей и алгебр, существенно уже продвинувшаяся линейная алгебра (теория линейных алгебраических уравнений, линейных преобразований и квадратичных форм), а к 70-м годам - теория Галуа, связывающая новую и старую алгебру, и интенсивно развивающаяся и богатая алгебраическими идеями алгебраическая теория чисел.
Первое событие в алгебре на рубеже XVIII и XIX в. - работы Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). В 1799 г. появилась докторская диссертация Гаусса, в которой он доказал основную теорему алгебры. Первоначально эта теорема была сформулирована Альбером Жираром в 1629 г. и утверждала, что «Все уравнения алгебры получают столько решений, сколько их показывает наименование высшей величины». Позже формулировка этой теоремы была уточнена. Например, у Эйлера в работе 1742 г. она звучала следующим образом: «Любой алгебраический многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение линейных или квадратных множителей». В своей докторской диссертации «Новое доказательство теоремы о том, что всякая алгебраическая целая рациональная функция от одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени» Гаусс критически рассмотрел все существовавшие до него доказательства и обнаружил их общий недостаток: априорное предположение, что корни уравнений существуют [3,c.65].
Алгебраическое доказательство Гаусса исходило из предположения, что заранее задана область К комплексных чисел. Состояло это доказательство в установлении того факта, что каждое уравнение с вещественными коэффициентами имеет корень в указанной области. В иной, эквивалентной, постановке требуется доказывать разложимость любого полинома, коэффициентами которого являются действительные числа, на вещественные множители первой и второй степени. Отказ от предположения о существовании корней уравнения, постулированный Гауссом, а также от обращения к фактам математического анализа, сильно затруднил задачу. Позже, в работах 1815 г., 1816 и 1849 г. Гаусс дал новые доказательства этой теоремы. Так, в работе 1815 г. ему пришлось строить поля разложений многочленов [4].

Весь текст будет доступен после покупки

1. Балазар М. Асимптотический закон распределения простых чисел./ М. Балазар — М.: МЦНМО, 2013. — 64 с.
2. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра / Б. Л. Ван дер Варден. – М.: Наука, 1976. – 648 с.
3. Вейль Г. Алгебраическая теория чисел / Г. Вейль. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 224 с.
4. Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия./ Г. Вилейтнер. Изд-во Физматлит М.1960 - 468с.
5. Гельфонд А.О. Трансцендентные и алгебраические числа./А.О. Гельфонд М.: Гостехиздат, 1952.- 224с.
6. Диксон Л. История теории чисел. Т. 1: Делимость и простые числа / Л. Диксон. – М.: Едиториал УРСС, 2009. – 416 с.
7. Диксон Л. История теории чисел. Т. 2: Диофантов анализ / Л. Диксон. – М.: Едиториал УРСС, 2009. – 424 с.
8. Диксон Л. История теории чисел. Т. 3: Квадратичные и высшие формы / Л. Диксон. – М.: Едиториал УРСС, 2009. – 440 с.
9. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии./Ф. Клейн М.: Наука. 1989 – 456с.

Весь текст будет доступен после покупки