Оптимальное преобразование производной по неточно заданным значениям аналитической функции на части границы

Введение……………………………………………………………………………...3

1 Оптимальное преобразование аналитической функции по неточно заданным значениям на части границы………………………………………………………...6
1.1 Оптимальное преобразование значения в точке аналитической в односвязной области функции………………………………………...…………………………...6
1.2 Явный вид экстремалей в случаях полуплоскости и круга…………………..12
1.3 Оптимальное преобразование на множестве ограниченной с весом аналитической функции……………………………………………………………18

2 Оптимальное преобразование производной по неточно заданным значениям аналитической функции на части границы……………………………………….26
2.1 Оптимальное преобразование оператора дифференцирования на классе аналитических в полосе функций………………………………………………….26
2.2 Постановки задач и основные результаты………………………………….....32
2.3 Наилучшее преобразование производных аналитических функций одного класса Харди другим классом Харди……………………………………………...38

3 Оптимальное преобразование аналитической в полуплоскости функции по сужению спектральной функции…………………………………………………..42
3.1 Наилучшее преобразование класса Харди – Соболева целыми функциями экспоненциального типа; средние поперечники класса………………………….44
3.2 Оптимальное преобразование по сужению спектральной функции…………61

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………….69

Список использованных источников………………………..……………………70

Весь текст будет доступен после покупки

Актуальность темы исследования. Преобразование тригонометрического ряда с помощью замены его коэффициентов на их арифметические средние порождает оператор Харди. Двойственный к нему – оператор Беллмана.
Как установил Харди, пространства Lp с условием p?[1,?) инвариантны относительно оператора Харди. С другой стороны, L? не инвариантно относительно оператора Харди, а L1 относительно оператора Беллмана. Б. И. Голубов доказал, что пространство BMO не инвариантно относительно оператора Харди, а Re+H – относительно оператора Беллмана. В настоящей работе для пространств Орлича, Лоренца и Марцинкевича, а также для пространств BMO и Re+H установлена точная граница смещения пространств образов данных операторов относительно пространств определения функций. Эти явления возникают при изучении операторов Харди и Беллмана для функций из пространств, «близких» к L? и L1 соответственно. Вопросы, которые сейчас относят к теории преобразования, в науке возникли достаточно давно: они ставились еще в работах С. Д. Пуассона, Дж.К. Максвелла, Р. Клаузиуса, Дж.В. Рэлея. Однако прошло немало времени, прежде чем появились очертания математически строгой теории. Самые первые шаги в этом направлении были сделаны в середине 60-х годов прошлого века, когда В.А. Марченко и Е.Я. Хруслов рассмотрели модельную задачу с мелкозернистой границей [1], а С. Спаньоло и Э. де Джорджи ввели понятие G-сходимости [2], [D3]. В дальнейшем данная тематика интенсивно разрабатывалась и расширялась, значительный вклад в ее развитие внесли многие математики, среди которых Н. С. Бахвалов, Ж.-Л. Лионс, Ф. Мюра, Л. Тартар, В. В. Жиков, О.А. Олейник и другие. Из обширной литературы по усреднению выделим монографии [4], [5], [6], [7], [8].
Множеством единственности для функций, аналитических в области G с границей – спрямляемой кривой Жордана, является подмножество положительной меры ? границы области. Это утверждение известно как теорема единственности И. И. Привалова (1919), см., например, [9]. Первый результат о методе преобразования аналитической функции по её (точным) значениям на части границы получил Т. Карлеман [10] для некоторого специального вида областей. Г. М. Голузин и В. И. Крылов [11] обобщили идею Т. Карлемана.

Весь текст будет доступен после покупки

1 Оптимальное преобразование аналитической функции по неточно заданным значениям на части границы

1.1 Оптимальное преобразование значения в точке аналитической в односвязной области функции

Функции всех рассматриваемых классов N(G), N?(G), Hp(G) обладают свойством суммируемости логарифма модуля их предельных граничных значений по гармонической мере, т.е. R? |ln|f(?)||P(z0,?)|d?| < +? [13]. Особо важным далее будет класс Харди H1(G), который совпадает с классом аналитических в области G функций, представимых через свои граничные значения по формуле Грина
Z f(z) = f(?)P(z,?)|d?|, z ? G.
Приведём явно формулировки решаемых здесь задач. Основной является задача оптимального преобразования значения аналитической в области G функции в точке z0 (функционала ?0z0 ) по заданным с известной погрешностью ? по норме её граничным значениям на ?1 и дополнительной информации принадлежности функции классу Q. Более точно, пусть для неизвестной функции f из класса Q задана функция g ? Lq?1(?1) такая, что справедливо неравенство kf ?gkL?q1(?1) ? ?. Мы хотим найти наилучший (оптимальный) способ восстановить по g значение функции f(z0), z0 ? G, для всех таких пар функций f и g. В качестве множества методов преобразования, из которых выбирается оптимальный, достаточно рассматривать только множество F всех возможных функционалов на Lq?1(?1). Как обсуждалось выше, в задаче оптимального преобразования линейного функционала на выпуклом уравновешенном классе с помощью множества F всех возможных функционалов существует наилучший линейный ограниченный функционал, величина уклонения равна модулю непрерывности восстанавливаемого функционала, и справедливы равенства (0.0.11).
Задача состоит в вычислении величины ER(?) и определении оптимального метода преобразования – функционала, на котором в (1.1.2) достигается нижняя грань.
Функцию переменной ? > 0, определяемую равенством

, (1.1)

называют модулем непрерывности функционала ?0z0 на классе Q. Из определения (1.1.3) следует, что для функций из H справедливо точное неравенство
. (1.2)

В случае q = r = ? величина (1.1) и, соответственно, неравенство (1.2) следуют из хорошо известной теоремы братьев Неванлинна о двух константах. А именно, неравенство (1.2) в этом случае принимает вид
,
где ? = w(z0,?1,G) – гармоническая мера ?1 относительно области G в точке z0.
С задачами (1.1.2) и (1.1) тесно связана задача наилучшего преобразования функционала линейными ограниченными функционалами. Точная постановка задачи такова. Пусть B(N) есть множество линейных ограниченных функционалов на , норма которых не превосходит числа N > 0. Величина
U(T) = sup{|f(z0) ? Tf| : f ? Q} (1.3)
является уклонением функционала T ? B(N) от функционала на классе функций Q. Соответственно, величина
E(N) = inf {U(T) : T ? B(N)} (1.4)
есть наилучшее преобразование функционала множеством линейных ограниченных функционалов B(N) на классе Q. Задача состоит в том, чтобы вычислить величину E(N) и найти экстремальный функционал, на котором в (1.4) достигается нижняя грань.
Весовые функции ?k, k = 0,1, удовлетворяют условию суммируемости функций ln?k с плотностью гармонической меры, т.е. условию

|ln?k(?)|P(z0,?)|d?| < +?, k = 0,1. (1.5)

Весь текст будет доступен после покупки

1. Тайков Л. В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. С. 155–162.
2. Тайков Л. В. Аналитическое продолжение функций с ошибкой // Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 109. С. 61–64.
3. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, № 3. С. 81–120.
4. Тумаркин Г. Ц., Хавинсон С. Я. Классы аналитических функций в многосвязных областях, представимые по формулам Коши и Грина // Успехи мат. наук. 1958. Т. 13, вып. 2(80). С. 215–221.
5. Тумаркин Г. Ц., Хавинсон С. Я. О существовании в многосвязных областях однозначных аналитических функций с заданным модулем граничных значений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958. Т. 22, вып. 4. С. 543–562.
6. Тумаркин Г. Ц., Хавинсон С. Я. Исследование свойств экстремальных функций с помощью соотношений двойственности в экстремальных задачах для классов аналитических функций в многосвязных областях // Матем. сб. Т. 46(88), № 2. 1958. С. 195–228.
7. Тумаркин Г. Ц., Хавинсон С. Я. Классы аналитических функций в многосвязных областях. В сб. «Исслед. по соврем. пробл. теории функций комплексн. переменного». М.: Физматгиз. 1960. С. 45–77.
8. Тумаркин Г. Ц., Хавинсон С. Я. Качественные свойства решений экстремальных задач некоторых типов. В сб. «Исслед. по соврем. пробл. теории функций комплексн. переменного». М.: Физматгиз. 1960. С. 77–95.
9. Фарков Ю. А. О наилучшем линейном приближении голоморфных функций // Фундамент. и прикл. матем. 2014. Т. 19, вып. 5. С. 185–212.
10. Фок В. А., Куни Ф. М. О введении «гасящей» функции в дисперсионные соотношения // Докл. АН СССР. 1959. Т. 127, № 6. С. 1195–1198.

Весь текст будет доступен после покупки