1.1 Теоретические основы координатного метода. Анализ учебной литературы
Поиски возможностей единого подхода к составлению предписаний для анализа и решения классов геометрических задач аналитическими методами привели к применению логической схемы «восходящего анализа», в результате применения которой строится «цепочка» достаточных условий с начальным звеном – требованием задачи, конечным – известным в задаче условием. Г.А. Балл считает, что схемы рассуждений соответствуют превращению неразрешимой для ученика задачи в разрешимую, снижают реальную сложность задачи.
Хотя путь поиска на основе аналитического метода решения не всегда однозначен, однако он все же менее многозначен и более определен, чем путь поиска при синтетическом методе решения. Аналитический метод удобен для поиска пути решения новой для учащихся задачи, он опирается на определенное умение школьника рассуждать и эффективно способствует развитию его продуктивного, логического и функционального мышления. В результате систематического применения аналитического метода решения задач у учащихся быстрее формируется умение самостоятельно решать новые для них задачи, чем при пользовании синтетическим методом.
Отражение темы исследования нашло в работах таких авторов как Д.И. Хана, Г.И. Саранцева, Е.П. Нелина, И.Е. Маловой, А.Н. Кагазбаевой, в которых затрагивается деятельностно – операционный аспект методики обучения учащихся аналитическим методам решения задач в курсе геометрии.
В работах психологов И.В. Дубровиной, Б.С. Круглова и др. обосновывается необходимость предварительной ориентации детей в особенностях изучаемого материала с помощью эвристических программ, сочетающих содержательное исследование и применение теории. Сторонниками разработки словесных описаний приемов деятельности, выделения операций, составляющих деятельность по решению определенных классов задач, являются З.И. Калмыкова, Е.Д. Божович, И.С. Якиманская, В.В. Давыдов, Д.Л. Гурова, Т.В. Габай, Н.В. Метельский.
Последние исследования свидетельствуют о том, что наиболее эффективным является обучение, при котором прямым продуктом является часть действия, называемая собственно ориентировкой. Для организации обучения по этому типу следует определить наборы умственных действий, адекватных изучаемому содержанию, и овладеть средствами, входящими в собственно ориентировку.
В практике решения задач методы анализа и синтеза полностью разделить, изолировать друг от друга невозможно. Они полезно сочетаются. При аналитическом методе имеют место скрытые элементы синтеза. Например, преобразуя требование основной задачи в требования первой серии вспомогательных задач, мы неявно проверяем правильность этого преобразования, возможность синтезирования из искомых чисел задач первой серии искомого основной задачи.
В развитии геометрии важное значение имело применение алгебры к решению геометрических задач, которое со временем переросло в отдельную науку – аналитическую геометрию. Координатный метод помогает упростить решение задачи, избежав представления сложных геометрических конфигураций.
Прямоугольными координатами пользовались еще до начала нашей эры. Древнегреческий математик Аполлоний Пергский мог определить с помощью них кривые: параболу, гиперболу и эллипс. Координатами пользовались и в средние века, определяя положение светил на небе, нужное место на поверхности Земли. Прямоугольную сетку использовали художники эпохи Возрождения. Пьер Ферма и Рене Декарт первыми применили данный метод к математике.
Координатный метод актуален на сегодняшний день, т.к. находит свое применение в разных областях науки и общественной жизни. Метод координат лежит в основе механики, геодезии, астрономии, используется в медицине, экономике, географии, информатике. Его изучению уделяют внимание как в школьной программе, так и в таких разделах высшей математики, как «Линейная алгебра», «Функциональный анализ» и др.
В координатном методе целесообразно знакомиться с прямоугольной системой координат, способами нахождения и задания координат точки на плоскости и в пространстве.
Прямоугольной системой координат в пространстве называются три взаимно перпендикулярные координатные прямые с общим началом координат, которые называются осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.
С помощью координатного метода можно найти:
а) расстояние между двумя точками; расстояние от точки до прямой;
б) расстояние от точки до плоскости; расстояние между скрещивающимися прямыми;
в) угол между двумя прямыми;
г) угол между прямой и плоскостью;
д) угол между плоскостями.
Для каждой конкретной задачи важно уметь находить рациональный способ. Наиболее универсальный способ решения геометрических задач представлен в виде алгоритма:
1. Ввести прямоугольную систему координат.
2. Найти координаты нужных точек.
3. Найти координаты необходимых векторов и задать уравнение прямой или плоскости, если оно необходимо.
4. Использовать формулу для решения конкретной задачи.
5. Записать ответ.
Рассмотрев школьную программу по геометрии основной школы, можно сказать, что координатному методу уделяется мало внимания. Раздел программы «Цели изучения курса геометрии» рассматривает: «при решение задач и доказательстве теорем применяются геометрические преобразования, векторы и координаты». Значит программа не ставит цель – изучить координатный метод, как метод решения геометрических задач. В программе говорится, что «в результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь использовать координаты для решения несложных стандартных задач». И не говорится о владение навыками использования координатного метода для решения задач, хотя этот метод лучше подходит при решении нестандартных и довольно сложных задач.
Атанасян Л.С. в учебнике геометрии для 7-9 классов изучению координатного метода посвятил целую главу. В этой главе в §1 рассматривается координаты вектора и разложение вектора по двум неколлинеарным векторам; во §2 решаются простейшие задачи в координатах, изучается связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; и в §3 вводятся уравнение прямой и окружности. Координатно-векторный метод в данной главе трактуется как метод, изучающий геометрические фигуры средствами алгебры. Главной целью автора является, обучить учащихся применению данного метода для решения задач на построение фигур, для задач на доказательства вывода геометрических формул.
Так в учебнике Погорелова А.В. Геометрия 7-11 классов, координатный метод занимает одно из центральных мест. Координаты начинают изучать с восьмого класса, изучив темы «Четырехугольники» и «Теорема Пифагора». Сначала изучают основные понятия, это введение координат на плоскости, уравнения прямой и окружности, после рассматривают пересечение двух окружностей, пересечение прямой и окружности, определяют синус, косинус и тангенс любого угла. Изучение является начальным этапом рассмотрения коорд метода в школе.
Весь текст будет доступен после покупки
