УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Введение...........................................................................................................................3
1. Свойства системдифференциальных уравнений....................................................4
1.1. Основные определения............................................................................................4
1.2. Траектории автономных систем..............................................................................5
1.3. Предельные множества траекторий.......................................................................6
1.4. Траектории линейных систем на плоскости..........................................................8
1.5. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами.............10
2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений..........................12
2.1. Устойчивость по Ляпунову..................................................................................12
2.2. Устойчивость линейных однородных систем.…………………………………14
2.3. Устойчивость периодических решений...............................................................17
2.4. Классификация положений равновесия системы второго порядка..................18
2.5. Автономные системы на плоскости.Предельные циклы................................. 23
2.6. Устойчивость по первому приближению............................................................25
2.7. Экспоненциальная устойчивость..........................................................................28
3. Второй метод Ляпунова............................................................................................29
3.1. Основные определения..........................................................................................29
3.2. Теоремы второго метода Ляпунова......................................................................30
3.3. Устойчивость по первому приближению............................................................33
Заключение....................................................................................................................36
Список литературы.......................................................................................................37

Весь текст будет доступен после покупки

Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучаеткачественная теория дифференциальных уравнений.
Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым.
Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведения решений при асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю. В данной курсовой работе излагаются основы теории Ляпунова устойчивости непрерывных гладких решений систем дифференциальных уравнений первого порядка, а именно: в главе 1 излагаются основные определения, необходимые для изучения устойчивости; в главе 2 дается понятие устойчивости решений систем в общем виде и по первому приближению; в главе 3 излагаются основы второго метода Ляпунова.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Свойства систем
дифференциальных уравнений.
1.1. Основные определения.
Пусть — непрерывные в областиG(n+1)-мерного пространства скалярные функции.
Определение. Совокупность уравнений
(1)
называется нормальной системойnдифференциальных уравнений первого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить


Определение. Решением системы (1) на интервале (a,b) называется совокупностьnфункций , непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если при всех :
1. ;
2.
Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы, определенное в окрестности точки , которое удовлетворяет начальным условиям …, , где — заданная точка из областиG. Решение задачи Коши существует и единственно, если все функции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы по всем в окрестности точки .
Каждому решению системы (1) сопоставляется 2 геометрических объекта: интегральная кривая и траектория.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Сб. статей. Новосибирск: Наука, 1987.
2. М. Розо. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.
3. Б. П. Демидович. Лекции по математический теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
4. И. Г. Петровский. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1964.
5. Ю. Н. Бибиков. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991.

Весь текст будет доступен после покупки