Практическое применение теории первообразных и индексов.

ВВЕДЕНИЕ 2
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕКИЕ ОСНОВЫ ПЕРВООБРАЗНЫХ КОРНЕЙ И ИНДЕКСОВ 5
1.1. Определение первообразных корней и их свойства. Индексы и их свойства 5
1.2. Основные понятия и теоремы первообразных корней и ее индексов 6
1.3. Определение понятия группа и ее основные свойства 12
1.4. Определение циклических подгрупп и группы 18
1.5. Теорема лагранжа и следствия из нее 24
ГЛАВА II. Практическое применение теории первообразных и индексов 28
2.1. Решение задач по теме исследования 28
2.2. Примеры циклических групп 36
2.4. Решетка циклических подгрупп на примере 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 45

Весь текст будет доступен после покупки

Актуальность исследования. В современном развитии математической науки, особенно в области теории чисел и алгебры, важное место занимают такие понятия, как первообразные корни и индексы. Эти концепции не только служат основой для более глубокого понимания свойств чисел и их взаимосвязей, но и находят множество применений в различных областях, включая криптографию, теорию кодирования и алгоритмическую теорию чисел. Исследование первообразных корней и индексов позволяет нам лучше понять структуру мультипликативных групп, которые играют ключевую роль в алгебраической теории чисел.
Первообразные корни, в частности, представляют собой элементы, обладающие особыми свойствами в контексте модульной арифметики. Они являются генераторами мультипликативной группы целых чисел по модулю n, где n — это натуральное число. Это означает, что все элементы группы можно выразить через первообразный корень. Существование первообразного корня для заданного модуля n имеет важные следствия для решения различных уравнений и задач, связанных с делимостью и остатками. Важным аспектом является также связь между первообразными корнями и индексацией, которая позволяет нам определить степень элемента в контексте группы.

Весь текст будет доступен после покупки

ГЛАВА I. теоретичекие основы первообразных корней и индексов
Определение первообразных корней и их свойства. Индексы и их свойства
В теории чисел и алгебраической структуре групп, особенно в контексте мультипликативных групп, ключевым понятием является понятие первообразного корня. Прежде чем углубляться в детали, важно установить основные определения и понятия, которые будут использоваться в данной работе. Первоначально, давайте рассмотрим, что такое первообразный корень.
Определение. Если (а, m) = 1 и показатель а по модулю m равен ?(m), то а называется первообразным корнем по модулю m.
Замечание. Тем самым 1 =? a?^0 ,? a?^1,? a?^2...,? a?^(?(m)-1) – это все вычеты по модулю m, взаимно простые с m.
Упражнение. Существует ли первообразный корень по модулю 8? По модулю 9?
1. Пусть m — такое натуральное число, что по его модулю существует первообразный корень, и пусть d — произвольное натуральное число.
(а) Сколько существует вычетов а, для которых ? a?^d? 1 (mоd m)?
(b) Сколько существует первообразных корней по модулю m?
2. Пусть р – простое.
(а) Докажите, что при d | р ? 1 многочлен x^(d-1)? Fp[x] имеет ровно d корней.
(b) Докажите, что для любого натурального n справедливо ?_(d|n)-??(d)? = n.
(с) Докажите, что для любого d | р?1 есть ровно ?(d) вычетов, показатель которых по модулю р равен d. В частности, существует первообразный корень по модулю р.
3. Пусть р – простое, р > 2.
(а) Докажите, что если а – первообразный корень по модулю р, то либо а, либо а+р является первообразным корнем по модулю ?p ?^2 .
(b) Пусть а – первообразный корень по модулю ?p ?^2. Докажите, что а является первообразным корнем по модулю ?p ?^a при любом натуральном ?
Исследование первообразных корней и индексов в контексте мультипликативных групп открывает множество интересных направлений для дальнейшего изучения. Например, можно рассмотреть, как эти понятия применяются в криптографии, где безопасность многих современных систем зависит от свойств чисел и групп. Также, понимание структуры мультипликативных групп имеет важное значение в теории чисел, поскольку это помогает решать уравнения и исследовать свойства чисел, которые могут быть использованы в различных математических и прикладных задачах.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Аверьянов, Д.И., Алтынов, П.И. Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в ВУЗы. - М.: Дрофа, 2022. Текст-непосредственный.
2. Баврин, И.И. Курс высшей математики: Учебник. - М.: Просвещение, 2023. - 372 с. Текст-непосредственный.
3. Бадьин, А. В., Левашова Н. Т., Шишкин А. А. Знакомство с теорией групп. Основные понятия. Группы преобразований. URL: httр://mаth.рhуs.msu.ru/аrсhivе/2016_2017/25/рrеоb.рdf (дата обращения: 11.12.2024). Текст-электронный.
4. Введение в высшую математику : учебник и практикум для вузов / под общей редакцией М. Б. Хрипуновой, И. И. Цыганок. — Москва : Издательство Юрайт, 2025. — 478 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-15087-2. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: httрs://urаit.ru/bсоdе/560153 (дата обращения: 11.05.2025).
5. Виноградов, И. М. Основы теории чисел [Текст-непосредственный] / Виноградов И. М. — 2-изд. — Москва: Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 1965 — 358 с. Текст-непосредственный.
6. Дж Х. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. – 1979. URL: httрs://libаrсh.nmu.оrg.uа/hаndlе/GеnоfоndUА/67541 (дата обращения: 03.02.2025). Текст-электронный.
7. Димаки, А. В., Светлаков А. А. Аппаратно-программный генератор случайных чисел, сопрягаемый с компьютером типа IBM РС // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. – 2004. – Т. 307. – №. 1. – С. 144-148. URL: httрs://суbеrlеninка.ru/аrtiсlе/n/арраrаtnо-рrоgrаmmnуу-gеnеrаtоr-sluсhауnуh-сhisеl-sорrуаgаеmуу-s-коmруutеrоm-tiра-ibm-рс (дата обращения: 03.02.2025). Текст-электронный.

Весь текст будет доступен после покупки