Применение функций Бесселя в физических задачах.

ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 6
1.1 Понятие о цилиндрических функциях 6
1.2 Функции Бесселя с целым положительным значком 6
1.3 Функции Бесселя с произвольным значком 10
1.4 Общее представление цилиндрических функций. Функции Бесселя второго рода 12
1.5 Разложение в ряд функции Бесселя второго рода с целым значком………………………………………………………………………...15
1.6 Функции Бесселя третьего рода 17
1.7 Функции Бесселя мнимого аргумента 18
1.8 Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа 21
1.9 Описание свойств цилиндрических функций 22
1.10 Нули цилиндрических функций 24
1.11 Разложение произвольных функций 25
ГЛАВА ?. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ В ПАКЕТЕ MATLAB. ГРАФИКИ ФУНКЦИИ 30
2.1 Цилиндрические функции в пакете Matlab 30
2.1 Графики функции Бесселя 31
2.1.1 Функция Бесселя 1-го рода 31
2.1.2 Функция Бесселя 2-го рода 32
2.2 Модифицированные цилиндрические функции Бесселя 33
СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 6
1.1 Понятие о цилиндрических функциях 6
1.2 Функции Бесселя с целым положительным значком 6
1.3 Функции Бесселя с произвольным значком 10
1.4 Общее представление цилиндрических функций. Функции Бесселя второго рода 12
1.5 Разложение в ряд функции Бесселя второго рода с целым значком………………………………………………………………………...15
1.6 Функции Бесселя третьего рода 17
1.7 Функции Бесселя мнимого аргумента 18
1.8 Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа 21
1.9 Описание свойств цилиндрических функций 22
1.10 Нули цилиндрических функций 24
1.11 Разложение произвольных функций 25
ГЛАВА ?. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ В ПАКЕТЕ MATLAB. ГРАФИКИ ФУНКЦИИ 30
2.1 Цилиндрические функции в пакете Matlab 30
2.1 Графики функции Бесселя 31
2.1.1 Функция Бесселя 1-го рода 31
2.1.2 Функция Бесселя 2-го рода 32
2.2 Модифицированные цилиндрические функции Бесселя 33
2.2.1 Модифицированная функция Бесселя 2-го рода 35
2.3 Функция Бесселя 3-го рода (функция Ханкеля) 36
2.3.1 Асимптотические поведение 38
2.3.2 Экспоненциально масштабируемая функция Ханкеля 39
ГЛАВА ?. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 42
3.1 Продольный изгиб вертикальной колонны 42
3.2 Коаксиальные волноводы 46
3.3 Поведение функций Риккати – Бесселя 48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 63
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 64

Весь текст будет доступен после покупки

Актуальность. В рамках данной магистерской диссертации представлены справочная информация по функциям Бесселя, а также их применение в физике. Зачастую, для решения физических задач, где требуется применение функций Бесселя, значительное количество времени тратится на поиск необходимых материалов, примеров реализаций в пакете прикладных программ, а также условия их применения в конкретных задачах. А как известно, функции Бесселя имеют широкий спектр применений в физике и играют важную роль в решении множества задач, связанных с цилиндрической симметрией (электродинамика, квантовая механика, теплопроводность, акустика, оптика и т.д.).
В настоящее время существует много справочного материала по тематике функций Бесселя. Но во всех этих источниках прослеживается характерный недостаток в виде узкого рассмотрения вопроса. Например, рассматривается только теория функций Бесселя, оставляя его численную реализацию, или рассматриваются только численные реализации, не привязанные к конкретным физическим примерам, или рассматриваются только физические задачи, обходя внимание вопросы, связанные с реализацией.

Весь текст будет доступен после покупки

Понятие о цилиндрических функциях

Определение 1.1. Цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения второго порядка:
u^''+1/z u^'+(1-v^2/z^2 )u=0 (1.1)
где z - комплексное переменное, v - параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.
Термин "цилиндрические функции" образовался из-за того, что уравнение (1.1) возникает при решении краевых задач теории потенциала для цилиндрической области. Известно, что специальный класс цилиндрических функций носит название функций Бесселя, и иногда это название относится к всем классам цилиндрических функций.

Функции Бесселя с целым положительным значком

Для изучения многих вопросов, связанных с использованием цилиндрических функций, достаточно ограничиться исследованием специального класса этих функций, что соответствует случаю, когда параметр в уравнении (1.1) равен нулю или положительное число. Изучение этого класса носит более элементарный характер, чем теория произвольных величин, и может служить хорошим введением в эту общую теорию.
Покажем, что одно из решений уравнения
u^''+1/z u^'+(1-n^2/z^2 )u=0,n=0,1,2… (1.2)
Одним из решений уравнения (1.2) является функция Бесселя первого рода порядка n, u1 = Jn(z) которую можно определить для любого значения z с помощью суммы ряда
J_n (z)=?_(k=0)^?-((-1)^k (z/2)^(n+2k))/k!(n+k)!,|z|Используя критерий отношения Даламбера, легко показать, что ряд (1.3) сходится на всей комплексной плоскости и, следовательно, представляет собой целую функцию от z. Если обозначить левую часть уравнения (1.2) через l(u) и ввести более короткие обозначения для коэффициентов ряда (1.3), положив
a_k=(-1)^k/(2^(n+2k) k!(n+k)!)
Тогда можно получить
l(u_1 )=?_(k=0)^?-?a_k z^(n+2k-2) {(n+2k)(n+2k-1)+(n+2k)-n^2 } ?+ ?_(k=0)^?-?a_k z^(n+2k) ?=?_(k=0)^?-?4a_k z^(n+2k-2) k(n+k) ?+?_(k=0)^?-?a_k z^(n+2k) ?= ?_(k=0)^?-?z^(n+2k) {4a_(k+1) (k+1)(n+k+1)+a_k ? (1.3)
отсюда l(u1) ? 0, так как выражение в фигурных скобках равно нуль. Таким образом, функция Jn(z) удовлетворяет уравнению (1.2), т. е. представляет собой цилиндрическую функцию.
Простейшими функциями рассматриваемого класса являются функции Бесселя нулевого и единичного порядка:
+ -(J_0 (z)=1-((?z/2)?^2)/?1!?^2 +((?z/2)?^4)/?2!?^2 -((?z/2)?^6)/?3!?^2 +?,@J_1 (z)=z/2 [1-((?z/2)?^2)/1!2!+((?z/2)?^4)/2!3!-((?z/2)?^6)/3!4!+?] )} (1.4)
Покажем, что функция Бесселя других порядков могут быть выражены через эти две функции. Для доказательства предположим, то n-целое положительное число, умножим ряд (1.3) на zn и продифференцируем по z. Затем мы получаем:


d/dz z^n J_n (z)=?_(k=0)^?-?((-1)^k (2_n+2k))/(2^(n+2k) k!(n+k)!) z^(2n+2k-1)= =z^n ?_(k=0)^?-?(-1)^k/k!(n-1+k)! (z/2)^(n-1+2k)=z^n J_(n-1) (z) ??
или
d/dz z^n J_n (z)= z^n J_(n-1) (z),n=1,2,… (1.5)
Точно так же, умножая ряд на z?n, мы можем найти:
d/dz z^(-n) J_n (z)= ?-z?^(-n) J_(n+1) (z),n=0,1,2,… (1.6)
что прямо подразумевает:
J_(n-1) (z)+J_(n+1) (z)=2n/z J_n (z),n=1,2,… (1.7)
J_(n-1) (z)-J_(n+1) (z)=2J_n^' (z),n=1,2,… (1.8)
Полученные формулы известны как рекуррентные соотношения для функций Бесселя.
Первое соотношений позволяет выразить функцию произвольного порядка n через функции нулевого и единичного порядков, что значительно сокращает работу по построению таблиц функций Бесселя.
Второе соотношение позволяет представить производные от функций Бесселя через функции Бесселя. При n=0 это соотношение заменить формулой

Весь текст будет доступен после покупки

[1] Н.Н. Лебедев, «Специальные функции и их разложения». 2-е издание, Москва.: Учпедгиз. – 1963.–359с.
[2] С.М. Львовский, «Набор и вёрстка в системе LaTeX».3-е издание Москва.: МЦНМО. – 2003.–448с.
[3] Christian Matzler, «MATLAB Functions for Mie Scattering and Absorption Version 2», Research Report No. 2002-11 August 2002
[4] Ю.Г. Игнатьев, «Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей в евклидовом пространстве». Курс лекций. IV семестр. Компьютерная версия, Казань.: Казанский университет – 2013.–204с.
[5] «Функции Бесселя в MATLAB» - https://docs.exponenta.ru/matlab/ref/besselh.html
[6] Б. Г. Коренев, «Введение в теорию Бесселевых функций». Главная редакция физика – математической литературы издательства «Наука», Москва 1971.

Весь текст будет доступен после покупки