Применение степенных рядов при решении дифференциальных уравнений

Введение………………………………………………………………….3
§1.Основные понятия дифференциальных уравнений………………. .4
§2.Голоморфное решение задачи Коши………………………………. 6
§ 3.Теорема Коши о существовании и единственности
голоморфного решения начальной задачи…………………………..14
§4. Задача Коши для линейного дифференциального
уравнения второго порядка…………………………………………..18
§ 5. Решение однородного линейного уравнения второго порядка…..19
§6. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов………………………………………………………22
Заключение……………………………………………………………25
Литература……………………………………………………………..26

Весь текст будет доступен после покупки

Решение уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой, не всегда выражается через элементарные функции и интегрирование такого уравнения редко приводит к квадратурам.
В последние годы такие дифференциальные уравнения привлекают все большее внимание. Так как решения уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.
Целью работы является анализ одного из приближенных аналитических методов, такого как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов, и применение их при решении дифференциальных уравнений.

Весь текст будет доступен после покупки

§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Теория дифференциальных уравнений (ДУ) возникла в 17 веке под влиянием потребностей механики и физики почти одновременно с дифференциальным и интегральным исчислением. Простейшие ДУ встречались уже в работах Ньютона и Лейбница. Термин «ДУ» принадлежит Лейбницу. Разработка Ньютоном методов решения задач небесной механики сводились к двум проблемам: 1) определение скорости движения в данный момент времени по данному пути; 2) определение пройденного пути за определенный момент времени при известной скорости. Главными понятиями Ньютона считались производная пути по времени и интеграл и общая задача состояла в вычислении производных и интегрирование дифференциальных уравнений.
Определение. Соотношение вида
, (1)
содержащее независимую переменную , неизвестную функцию и ее производные, называется дифференциальным уравнением.
Определение. Наивысший порядок производной от искомой функции, входящий в уравнение, называется порядком этого уравнения.
Определение. Функция , определенная вместе с соответствующими производными в некоторой области , называется решением уравнения (1) в этой области, если имеет место тождество
.
Определение. называется общим решением уравнения (1), если здесь содержатся все решения (1). Каждое отдельно взятое решение называется частным решением уравнения (1).
Общее решение данного уравнения включает произвольную постоянную и является записью всего многообразия решений. Придавая произвольной постоянной конкретные численные значения, мы получим конкретные, частные решения. Общее решение ДУ (1) содержит произвольных постоянных .
Определение. Функция называется общим интегралом уравнения (1), если это соотношение содержит все решения (1).
Если функции, входящие в ДУ, зависят от одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).
ДУ 1-го порядка в общем виде записывается так:
- неявный вид.
Иногда это уравнение удается разрешить относительно производной и привести к виду
- (3)
явный вид.
Определение. Пусть функция определена в области , однозначна и непрерывна по совокупности переменных. Область называется областью определения уравнения (3).

Весь текст будет доступен после покупки

1. В.В. Степанов "Курс Дифференциальных Уравнений" (издание шестое), Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва 1953, стр. 245-250.
2. Н.М. Матвеев "Дифференциальные уравнения" (издание четвёртое, дополненное), Минск, 1976, стр.5.
3. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд, стереотип. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 352 с.
4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. —— 512с.: ил.

Весь текст будет доступен после покупки