1. Моделирование воздействия потока энергии на материалы
Изучение любого физического явления сводится к установлению зависимости между величинами, характеризующими это явление. Для сложных физических процессов, в которых определяющие величины могут существенно изменяться в пространстве и времени, установить зависимость между величинами очень трудно. В этих случаях на помощь приходит метод математической физики, в котором ограничивается промежуток времени и из всего пространства рассматривается лишь элементарный объем. Это позволяет в пределах элементарного объема и выбранного малого отрезка времени пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс, и существенно упростить зависимость.
Выбранные таким образом элементарный объем и элементарный промежуток времени , в пределах которых рассматривается изучаемый процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения - величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретное строенное среды и рассматриваться ее как континуум (сплошную). При решении задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.
Для облегчения вывода этого дифференциального уравнения сделаем следующие допущения:
+тело однородно и изотропно;
+физические параметры постоянны;
+деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с сами объектом;
+внутренние источники теплоты в теле, которые в общем случае могут быть заданы как , распределены равномерно.
В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: Количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмотрения изохорического или изобарического процесса), содержащегося в элементарном объеме:
(1)
где - количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем путем теплопроводности за время ; - количество теплоты, Дж, которое за время выделилось в элементарном объеме ; - изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в
Рис. 1.
элементарном объеме , за время .
Для нахождения составляющих уравнения выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами , (рис. 1). Параллелепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям.
Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время в направлении осей , обозначим соответственно .
Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно . Количество теплоты, подведенное к грани в направлении оси за время , составляет , где
(2)
- проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани. Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси , запишется как
(3)
Разница количеств теплоты, подведенных к элементарному параллелепипеду и отведенных от него за время в направлении оси , представляет собой количество теплоты
(4)
Или
(5)
Функция является непрерывной в рассматриваемом интервале и может быть разложена в ряд Тейлора:
Если ограничиться двумя первыми членами ряда, то уравнение (4) запишется в виде
(6)
Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему и в направлениях двух других координатных осей и .
, (7)
. (8)
Полное количество теплоты , подведенное теплопроводностью к рассматриваемому объему, будет равно:
(9)
С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:
, (10)
Сопоставив выражения для теплоты и произведя сокращения, получим дифференциальное уравнение теплопроводности:
, (11)
Или в сокращенной записи:
. (12)
Величина
- оператор Лапласа .
Весь текст будет доступен после покупки
