Программная реализация решения жестких систем дифференциальных уравнений на примере модели химической кинетики

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………. 3
ГЛАВА 1. Литературный обзор…………………………………..........….....5
1.1. Жесткие системы дифференциальных уравнений……………………...5
1.2. Механизм процессов полимеризации…………………………………... 8
1.3. Кинетическое моделирование реакций полимеризаций…………….. 11
1.4. Методы решения прямых кинетических задач……………………….. 14
1.4.1. Метод моментов…………………………………………………...16
1.4.2. Численные методы решения прямых кинетических задач……..21
ГЛАВА 2. Математическое моделирование полимеризации…………….. 31
2.1. Кинетика радикального механизма полимеризации…………………. 31
2.2. Определение параметров реакции процесса радикальной полимеризации метилметакрилата в массе…………………………………………………...33
ГЛАВА 3. Программная реализация……………………………………….. 35
3.1. Алгоритм программного обеспечения………………………………… 35
3.2. Интерфейс и структура программного обеспечения………...………..36
3.3. Результат работы программы…………………………………………...41
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….43
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...………………………………………………….44

Весь текст будет доступен после покупки

В настоящее время моделирование химических процессов играет ключевую роль в различных областях науки и техники, от биологии и медицины до химической инженерии и экологии. Центральное место в таком моделировании занимают дифференциальные уравнения, описывающие кинетику химических реакций. Однако, многие из этих систем уравнений являются жесткими, что представляет особые трудности для численного решения из-за необходимости использовать стабильные и точные методы интегрирования.
Проблема решения жестких систем дифференциальных уравнений требует высокой вычислительной эффективности и точности. В данной выпускной квалификационной работе рассматривается программная реализация методов решения таких систем на примере модели химической кинетики. Для реализации алгоритмов выбран язык программирования C++, который является одним из наиболее предпочтительных языков для выполнения задач, требующих интенсивных вычислений.

Весь текст будет доступен после покупки

ГЛАВА 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР
1.1. Жесткие системы дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений (ДУ):
dx/dt=Ax
где A - постоянная матрица размерности m?m, считается жесткой при выполнении следующих условий:
Все собственные значения ?_k матрицы A имеют отрицательную действительную часть: Re?_k<0,для k=1,2,…,m;
Отношение
S=(|Re?_k | )/(|Re?_k | )
велико, где Re?_k - действительная часть собственного значения ?_k.
Это отношение называется числом жесткости S системы. Точное значение порога S, начиная с которого система считается жесткой, не фиксируется и определяется в зависимости от конкретной физической задачи.
Если матрица A имеет переменные коэффициенты, то есть зависит от времени t, то собственные значения ?_k также становятся функцией t-?_k=?_k (t),для k=1,2,…,m. Для любого момента времени t можно определить число жесткости
S=(|Re?_k (t)| )/(|Re?_k (t)| ),
которое также зависит от t. В таком случае система уравнений
dx/dt=A(t)x
с матрицей A(t), зависящей от времени, называется жесткой на интервале (t_0,T], если Re?_k<0,k=1,2,…,m,? x?(t_0,T] и число supS(x) велико.
Явление жесткости заключается в том, что решение системы изменяется медленно, хотя могут существовать возмущения, которые быстро затухают. Наличие таких возмущений усложняет численное решение, так как требуется использование стабильных и точных методов интегрирования [1].
Теперь рассмотрим взаимосвязь жесткости системы [1]
dx/dt=Ax
с жесткостью неоднородной системы
dx/dt=Ax+r(t),t?[a,b]
Решение неоднородной системы можно записать в виде
x(t)=K(t,t_0 )(x(t_0 )-?(t_0 ))+?(t),K(t_0,t_0 )=E,
где K(t_0,t_0 ) - нормированная фундаментальная матрица однородной системы;
?(t) - частное решение неоднородной системы. Пусть неоднородная система является жесткой. Тогда требование жесткости
|?dx?^((k) )/dt|_(t?t_0+?_пс )?L/N |x^((k) ) (t)| ,k=1,2,…,m,
t_0+?_пс?t?t_0+T,N>1,
должно выполняться при любых начальных условиях (t_0,x_0 ). Здесь
0?L??(?f/?x)???f/?x?,
?(?f/?x) - максимальный модуль собственных чисел матрицы Якоби, ?_пс - точка, отделяющая пограничный слой (переходной участок). Малая продолжительность пограничного слоя по сравнению с полным отрезком наблюдения задается неравенством ?_пс1.
Выбирая в частном случае x_0=?(t_0 ), убеждаемся, что условие жесткости должно выполняться не только для самого вектора x(t), но и для обоих слагаемых неоднородной системы по отдельности. А потому, что первое слагаемое является решением однородной системы, то эта однородная система должна быть жесткой.
Таким образом, из жесткости неоднородной системы следует жесткость однородной. Это утверждение подтверждает, что жесткость является внутренним свойством линейной системы и не может возникнуть исключительно из-за изменений функции r(t). Все эти рассуждения остаются справедливыми и для случая, когда матрица имеет переменные коэффициенты.
Система ДУ [1]
dx/dt=f(t,x)
называется жесткой на отрезке изменения независимой переменной [a,b], принадлежащем интервалу существования ее решений, если при любом векторе начальных значений ?(t?_0,x_0) и на любом отрезке (t_0,t_0,+T)?[a,b] найдутся такие числа ?_пс,L,N, удовлетворяющие неравенствам

Весь текст будет доступен после покупки

1. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. - Москва: Наука, 1979.
2. Кафаров, В. В. Моделирование кинетики процесса полимеризации полиизопренового каучука / В. В. Кафаров, В. Н. Ветохин, С. Г. Тихомиров // Доклады АН СССР. – 1989. – Т. 305, № 6. – С. 1425– 1429.
3. Кафаров, В. В. Системный анализ процессов химической технологии. Процессы полимеризации / В. В. Кафаров, И. Н. Дорохов, Л. В. Дранишников. – М.: Наука, 1991. – 350 с.
4. Муллагалиев, И. Р. Алкильные производные непереходных металлов II-III групп в полимеризации диенов на неодим-, титан- и ванадийсодержащих катализаторах: дис. … докт. хим. наук: 02.00.06 / И. Р. Муллагалиев.– Уфа, 2006. – 333 с.
5. Визен, Е.И. Молекулярно-массовое распределение изотактического полипропилена, полученного в условиях "квази-живой" полимеризации / Е.И.Визен, Ф.И.Якобсон // Высокомолекулярные соединения. Сер. А.– 1978. – Т.20, №4. – С.927-933.
6. Эстрин, Я.И. Реакции ограничения роста цепи при полимеризации эпихлоргидрина под действием BF3 и его эфирата / Я.И.Эстрин, С.Г. Энтелис // Высокомолекулярные соединения.сер. А.–1971.– Т.13,№7.–с.1654-1661.
7. Подвальный, С. Л. Моделирование промышленных процессов полимеризации / С. Л. Подвальный. – М.: Химия, 1979. – 350 с.
8. Чирков, Н. М. Полимеризация на комплексных металлоорганических катализаторах / Н. М. Чирков, П. Е. Матковский, Ф. С. Дъячковский. – М.: Химия, 1976. – 416 с.
9. Эмануэль, Н.М. Курс химической кинетики / Н.М.Эмануэль, Д.Г.Кнорре – М.: Высшая школа, 1969. – 431 с.

Весь текст будет доступен после покупки