Задачи на геометрический и физический смысл производной в школьном курсе мтематики

Введение
Глава 1. Основные вопросы теории дифференциального исчисления в школьном курсе математики
1.1. Производная функции: понятие, основные правила дифференцирования
1.2. Геометрический смысл производной функции
1.3. Механический смысл производной первого и второго порядков
1.4. Анализ учебно-методической литературы по теме «Геометрический и физический смысл производной»
Выводы по главе 1
Глава 2. Методические аспекты решения задач на геометрический и физический смысл производной
2.1. Решение задач на геометрический смысл производной
2.2. Решение задач с применением физического смысла производной
2.3. Методические разработки занятий по темам «Применение геометрического смысла производной к решению задач» и «Применение физического смысла производной к решению задач»
Выводы по главе 2
Заключение
Список использованных источников

Весь текст будет доступен после покупки

Актуальность исследования заключается в том, что на сегодняшний день необходимы учебные программы и учебники по школьным предметам, позволяющие эффективно дифференцировать усвоение материала учащимися. Это возможно реализовать с помощью межпредметных и внутрипредметных связей. Важность межпредметных и внутрипредметных связей обусловлена тем, что они в процессе обучения помогают систематизировать и расширить знания учащихся, формировать навыки и умения самостоятельной познавательной деятельности. Роль внутрипредметных связей в процессе обучения велика, так как они влияют на цель обучения. А также внутрипредметные связи способствуют определению логических связей между понятиями, формируют мировоззрение, уменьшают затраты учебного времени, тем самым устраняя перегрузку учащихся.
Практика показывает, что относительно нетрудно подготовить учащихся давать определение производной, вычислять ее и, используя основные правила дифференцирования, находить производную функции в точке. Учащиеся без каких-либо усилий решают задачи на исследование функции с применением производной. Приступая к изучению этой темы, нужно определить правильный путь введения производной, объяснить учебный материал на доступном уровне для понимания всеми учащимися. Можно отметить, что учащийся сможет определять производную в разных приложениях, например, в физике, геометрии, если сумеет использовать её определение для нахождения значения производной, показать геометрический и физический смыслы.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1. Основные вопросы теории дифференциального исчисления в школьном курсе математики
1.1. Производная функции: понятие, основные правила дифференцирования

Производная функции (в точке) – это понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, которая имеет конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке) [15].

- правая производная
- левая производная

Теорема 1. Если функции f и g дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируемы функциии f+g, fg, f/g (при условии, что g(x)?0), и при этом
(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) (1)
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (2)
( (f(x))/(g(x)) )' = ( (f^' (x)g(x)- f(x)g'(x) )/((g(?x))?^2 ) ), g(x)?0 (3)

Доказательство. Обозначим ?f=f(x+?x)?f(x) и ?g=g(x+?x)?g(x).
Тогда ?f/?x >f'(x), ?g/?x >g'(x) при ?x>0, так как существуют f'(x) и g'(x). Кроме того, f(x+?x) = f(x)+?f, g(x+?x) = g(x)+?g, где ?f>0, ?g>0, так как функции f и g непрерывны в точке x [15].
1. Если y = f(x) + g(x), то ?y = f(x+?x) + g(x+?x) ? f(x) ? g(x) = ?f+?g,
откуда ?у/?x = ?f/?x + ?g/?x
Правая часть этой формулы имеет при ?x>0 предел, равный f'(x)+g'(x). Поэтому существует предел левой части, который по определению равен (f(x)+g(x))'. Формула (1) доказана.
2. Если y = f(x)g(x), то ?y = f(x+?x)g(x+?x)?f(x)g(x) = (f(x)+?f)(g(x)+?g) ? f(x)g(x) = f(x)?g + g(x)?f + ?f?g,
?у/?x = f(x) ?g/?x + g(x) ?f/?x + ?f/?x ?g.
Отсюда следует формула (2), так как ?g/?x > g'(x), ?f/?x > f'(x), ?g>0 при ?x>0.
3. Если y = (f(x))/(g (x)), то
?y = (f (х+?x) )/(g (х+?x) ) - ?f/?x = (f(х)+?f) )/(g(х)+?y) ) - (f(x))/(y(x)),
или
?y = (?fg(x)- ?gf(x))/(g(x)g(x+?x) ),
откуда
?g/?x = ?f/?xg(x) - ?g/?xf(x) 1/(g(x+ ?x)g(x) ).
Переходя к пределу в этом равенстве и учитывая, что g(x+?x) > g(x) при ?x>0, где g(x)?0, получаем формулу (3).
Следствие 1. Если функция f дифференцируема в точке x и C — постоянная, то
(Cf(x))' = Cf'(x),
то есть постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференцирования.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Алгебра и начала анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В.Ткачев и др. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016. – 463 с.
2. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М. В. Ткачева и др. – 18–е изд. – Москва: Просвещение. – 2012. – 464 с.
3. Балдин, К.В. Краткий курс высшей математики / К.В. Балдин. – М.: Дашков и К, 2015. – 510 c.
4. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 5-е изд., стер. –Москва: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.
5. Башмаков М.И. Математика: Учебник для 10 класса. Базовый уровень / М.И. Башмаков. – М.: Изд. центр «Академия», 2007. – 304 с.
6. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. – 16-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2010. – 736 с.
7. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике / Н.В. Богомолов. – М.: Юрайт, 2012. – 156 с.
8. Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задчах / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев. – 6-е изд., испр. – СПб.: Лань, 2011. – 480 с.
9. Вавилов, В.В. Задачи по математике. Алгебра / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник и др. – М.: Физматлит, 2007. – 456 c.

Весь текст будет доступен после покупки