Численное решение дифференциальных уравнений с хаотической динамикой

Введение 3
1. Метод исследования решений моделей динамических систем на языке дифференциальных уравнений 6
2. Универсальный сценарий перехода к хаосу в диссипативных нелинейных дифференциальных уравнений 11
2.1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 11
2.2. Дифференциальные уравнения в частных производных 16
3. Динамика показателей Флоке в каскаде бифуркаций удвоения периода предельных циклов 21
4. Основные структуры решений в диссипативных нелинейных дифференциальных уравнений 23
5. Приложения 27
5.1. Проблема турбулентности 27
5.2. Плоские бегущие волны в активных средах 29
Выводы 32
Список используемых источников 33

Весь текст будет доступен после покупки

Согласно замечанию академика В.И. Арнольда наибольшая часть путей, связывающих абстрактные математические теории с приложениями в самых различных областях знаний, проходит через дифференциальные уравнения. В наибольшей мере это относится к физике, которая находится на переднем рубеже познания мира и где в наибольшей степени развит аппарат математических моделей. Стремление глубже познать природу окружающего нас мира неумолимо приводит к использованию нелинейных дифференциальных уравнений. Мощный интерес к исследованию нелинейных уравнений в прошлом столетии выявил, с одной стороны, наличие структур в решениях этих уравнений, а с другой — привёл к открытию явления, получившего название детерминированного хаоса. Данная работа посвящена обсуждению указанных вопросов и их роли в прикладной математике.
Долгое время основным классическим подходом к изучению нелинейных динамических систем было явное или приближённое нахождение частного решения, индивидуальной траектории. Однако такой подход, как отмечалось ещё в работах А. Пуанкаре, не является эффективным даже при исследовании достаточно простых динамических систем, таких, например, как задача трёх тел. Поэтому для нелинейных уравнений проблема описания структуры решений, как некоторого множества траекторий в пространстве состояний, объединённых некоторым общим признаком, является чрезвычайно важной.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Метод исследования решений моделей динамических систем на языке дифференциальных уравнений
Для нелинейных систем дифференциальных уравнений практически отсутствуют аналитические методы решения. Попытка решать такие задачи с помощью методов линеаризации или теории возмущений дают, как правило, некоторые приближения, пригодные в основном для оценок. Наиболее часто таким подходом пользуются физики, упуская при этом возможность ухватить суть нелинейного явления в целом.
Приведённое здесь исследование нелинейных систем дифференциальных уравнений опирается на численный метод. Использование численных методов в решении задач нелинейной динамики, а тем более при исследовании хаотических систем, обычно вызывает беспокойство относительно достоверности результатов.
В основном это связано с тем, что оценка погрешности численного интегрирования дифференциальных уравнений, полученная в предположении выполнения условия Липшица для правой части системы, может расти экспоненциально времени интегрирования. Однако эта оценка является чрезвычайно грубой и не соответствует наблюдениям в реальном времени при численном моделировании устойчивых решений. Если же помимо условия Липшица наложить на правую часть дифференциального уравнения некоторые дополнительные условия, то получается более корректная оценка погрешности. Например, в показано, что в случае скалярного дифференциального уравнения оценка погрешности не зависит от длины промежутка интегрирования, если производная правой части по решению этого уравнения отрицательна. Р.П. Федоренко получил более корректную оценку погрешности численного интегрирования системы

Весь текст будет доступен после покупки

1. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. [Arnoljd V. I. Dopolniteljnihe glavih teorii obihknovennihkh differencialjnihkh uravneniyj. — M.: Nauka, 1978. ]
2. Пуанкаре А. Избранные труды в трёх томах. Т. II. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел. — М.: Наука, 1972. [Poincare A. Selected Works in Three Volumes. Vol. II. New Methods of Celestial Mechanics. Topology.
3. Numbers Theory. — Moscow: Nauka, 1972 ]
4. Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // ДАН СССР. — 1937. —
5. Т. 14. — С. 247–251. [Andronov A. A., Pontryagin L. S. Grubihe sistemih // DAN SSSR. — 1937. — T. 14. — S. 247–251. ]
6. Hopf E. Abzweigung einer Periodischen Losung von einer Stationaren Losung eines Differential Systemen // Berichten der Math. Phys. Klass der Sachlischen Akademie der Wessenschaften zu Leipzig. — 1942. — Vol. 94.
7. Turing A. On the Chemical Basic of Morphogenesis // Phil. Trans. Roy. Soc. London. — 1952. — Vol. Ser. A, 237. — Pp. 37–52.
8. Режимы с обострением. Эволюция идеи. Законы коэволюции сложных структур / под ред. И. М. Макаров. Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения. — М.: Наука, 1998. [Makarov I. M. Regimes with Peaking. The Evolution of Ideas. Laws Coevolution of Complex Structures. — Moscow: Nauka, 1988 ]
9. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации. Современные проблемы математики / Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий, А. А. Самарский. — ВИНИТИ, 1986. — Т. 28. — С. 207–313. [O klassifikacii resheniyj sistemih nelineyjnihkh diffuzionnihkh uravneniyj v okrestnosti tochki bifurkacii. Sovremennihe problemih matematiki / T. S. Akhromeeva, S. P. Kurdyumov, G. G. Malineckiyj, A. A. Samarskiyj. — VINITI, 1986. — T. 28. — S. 207–313. ]

Весь текст будет доступен после покупки