Функциональные уравнения.

ВВЕДЕНИЕ 3
1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 4
1.1 Определение функционального уравнения 4
2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7
2.1 Метод замены переменной 7
2.2 Метод подстановки 9
2.3 Метод Коши 12
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 15

Весь текст будет доступен после покупки

Курсовая работа посвящена функциональным уравнениям. Работа состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассмотрено определение функционального уравнения.
В параграфе два будут методы решения функциональных уравнений: метод замены переменной, метод подстановки и метод Коши.
Цель данной курсовой заключается в изучении основных понятий и методов решений функциональных уравнений.

Весь текст будет доступен после покупки

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1.1 Определение функционального уравнения
Функциональные уравнения – уравнения, в которых выражается зависимость между переменными, представляющими функции. Функциональные уравнения могут быть линейными или нелинейными, их решение позволяет найти значения переменных, при которых уравнение выполняется. Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если она удовлетворяет ему при всех значениях аргумента в области её определения. Решить функциональное уравнение – это, значит, найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют.
Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Это несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.
Простейшими примерами функциональных уравнений могут служить
f(x)=f(-x),f(-x)=-f(x),f(x+T)=f(x),
которые задают такие свойства функции, как четность, нечетность, периодичность. Простым видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, которое мы встречаем в школьном курсе математики на теме Последовательности. Говоря формально, рекуррентное соотношение содержит неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.
Например
a(n)=3a(n-1)+4a(n-2).
Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения
f(x+y)+f(x-y)=2•f(x)•f(y).
То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения этого уравнений, при условии непрерывности f(x).
f(x)=cos?ax,
f(x)=ch ax=(e^ax+e^(-ax))/2,
f(x)?0.
Несмотря на то, что функциональные уравнения это весьма общий класс уравнений, под функциональными уравнениями в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональные уравнения можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999
2. Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, 1983. – 96 с
3. Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2, с. 116 – 120
4. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.– СПб.: Лань, 1997. – 160 с

Весь текст будет доступен после покупки