Методические аспекты разрешимости алгеброических уравнений в школьном курсе математики

Введение…………………………………………………………………………..4
Глава 1. Теоретические основы разрешимости алгебраических уравнений…………………………………………………………………………7
1.1. Краткие исторические сведения из истории возникновения уравнений.7
1.2. Основные понятия темы «уравнения»…………………………………..14
1.3. Понятие «алгебраическое уравнение». Виды алгебраических уравнений, изучаемых в школе…………………………………………..19
1.4. Разрешимость алгебраических уравнений………………………………21
1.5. Примеры алгебраических уравнений……………………………………23
Глава 2. Методика изучения алгебраических уравнений в школе……...49
1.1. Общие методические рекомендации…………………………………….49
1.2. Методическая разработка урока по теме «Линейные уравнения»…….52
1.3. Методическая разработка урока по теме «Квадратные уравнения»…..59
1.4. Методическая разработка урока по теме «Рациональные уравнения»..65
1.5. Методическая разработка урока по теме «Уравнения высших степеней»…………………………………………………………………..76
Заключение……………………………………………………………………...85
Список использованной литературы………………………………………..87

Весь текст будет доступен после покупки

Математика нужна всем людям на свете. Без математики человек не сможет решать, мерить и считать. Без математики невозможно построить дом, сосчитать деньги в кармане, измерить расстояние. Ведь если бы не математика, мы бы не летали на самолетах, не говорили бы по мобильным телефонам, даже не ездили бы в автомобилях. Иногда мне кажется, что мир просто рухнет, если его лишить математики. Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.
Во всех школах мира детей учат математике, потому что математика самое главное знание, которое даже раньше уважали и обожествляли. Поэтому и мы должны подружиться с математикой. «Математика ум в порядок приводит», — говорил Михаил Васильевич Ломоносов. При изучении математики осуществляется развитие интеллекта школьника, обогащение его методами отбора и анализа информации. Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии учащихся, поскольку прививает им навыки ясного логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1. Теоретические основы разрешимости алгебраических уравнений
1.6. Краткие исторические сведения из истории возникновения уравнений
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Представим, что в очень легком – практически невесомом – кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не заглядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелек на одну чашу рычажных весов и уравновесим его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потребуется – столько же их и в кошельке.
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов." Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37…", - поучал во втором тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Математика как наука родилась в Древней Греции. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени. В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант (III в.) разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах. Например, он реш В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение
(10+x)(10—x)=96,
или же 100 —x2 = 96.
x2 - 4 = 0
Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели каким-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако, ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: " Смотри!", " Делай так!", " Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебр Валь-мукабала" (" Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось знакомое всем слово "алгебра". А само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Алимов Ш. А. Алгебра. 7 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений /Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 224 с.
2. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики – М., Просвещение, 2007. – 367 с.
3. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс – М., Просвещение, 2008. – 192 с.
4. Глейзер Г. И. История математики в школе. / Г. И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.
5. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики / Я.И. Груденов. – М.: Просвещение, 1990. – 205 с.
6. Дроздов В.А. Квадратное уравнение: варианты решения. Математика // Приложение к газете « Первое сентября» № 10/2008.
7. Лаппо Л. Д. ОГЭ 2017. Математика: сборник заданий. /Л. Д. Лаппо, М. А. Попов. – М.: изд-во «Экзамен», 2017. – 159 с.
8. Кожарин А.Ф. Лебедев В.К., Давыдова И.Л. Алгебра и геометрия. Методика и практика преподавания. Анализ программ, тематическое и календарное планирование дидактического материала. Контрольные задания. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2002. – 352 с.
9. Колмогоров А.Н. Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Ивлев Б. М., Шварцбург С. И. Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс. М.: Просвещение, 2001 г. - 384 с.

Весь текст будет доступен после покупки