СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Введение 3
1 Понятие и история интервального анализа 6
2 Интервальная арифметика 10
2.1 Основные обозначения 11
2.2 Арифметические операции над интервалами в виде функций 11
2.3 Интервалы как множества 15
2.4 Интервальные векторы и матрицы 15
3 Численные методы решения интервальных СЛАУ 17
3.1 Метод Гаусса 17
3.2 Метод вращений (Гивенса) 20
3.3 Метод отражений (Хаусхолдера) 23
3.4 Проблема численного решения интервальной СЛАУ 25
4 Сравнение методов 27
4.1 Достоинства и недостатки метода Гаусса 27
4.2 Сравнение метода Гаусса и методов Отражений и Вращений 28
5 Оптимальная оценка ошибок при вычислениях в интервальном анализе 30
Заключение 31
Список использованных источников и литературы 32
Приложение А 34
Приложение Б. 49

Весь текст будет доступен после покупки

Интервальный анализ - это направление, которое объединяет такие об-ласти знаний, как информатика и математика, и исследует задачи с интер-вальными неопределённостями, а также методы их решения.
Возникновение интервальных методов было необходимо для осуществления автоматического контроля ошибок округления на ЭВМ, в результате чего образовался один из разделов современной прикладной математики.
Наибольшее значение интервальный анализ и его методы имеют в задачах, где неоднозначности или неопределённости появляются еще в начале, а также являются неотъемлемой частью поставленной задачи.
Применение этих методов в вычислительных процессах необходимо для того, чтобы заключить в интервалы решения задач, о входных данных которых известно только то, что они лежат в определенных пределах. Кроме того, в получаемые интервалы вводятся и встречающиеся в процессе вычислений ошибки округлений. Если входные данные задачи определены правильно, то получаемые интервалы будут содержать точное решение. Соответственно, интервальный метод нужен для учета ошибок аппроксимации и округлений.
Интервальный анализ необходим для замены арифметических операций и вещественных функций интервальными операциями и функциями, преобразующие интервалы, которые содержат эти числа. Интервальные решения содержат точные решения исходных задач, что является их достоинством.
Интервальный анализ поначалу был набором инструментов для оценки качества вычислений и обеспечения строго контроля над ошибками округления. Впоследствии, он стал новым разделом математики и самостоятельной дисциплиной. Интервальные методы применяются в тех случаях, когда мы сталкиваемся с неточными значениями, погрешность которых можно строго оценить. Нечёткие множества, неточные множества и вероятностные методы могут решать задачи подобного рода, но доказать существование или отсутствие решений можно только применив интервальные методы.
Проблемы интервального анализа можно условно разделить на три группы:
1) исследование самого множества интервальных чисел как некоторой математической структуры;
2) применение интервальных методов к различным задачам прикладной математики;
3) программирование интервальных методов;
Прежде всего, актуальность интервального анализа заключается в ее применении при выполнении компьютерных расчетов. Например, внешне приближенные значения интервального анализа дают возможность показать диапазон полученных результатов при применении интервальных операций и функций. Это дает качественные отличия в научных вычислениях по отношению к традиционным, в которых применяются данные без учета ошибок округления, так как полученный результат в виде интервала(набора значений) гарантированно имеет верный результат внутри его крайних границ интервала.
Для решения ИСЛАУ будут сравниваться методы Гаусса, Гивенса (Вращений) и Хаусхолдера (Отражений). Первый метод известен своей популярностью во всех вычислительных отраслях, так как с помощью него возможно выполнение решения как отдельным алгоритмом, так и в паре с другими. Второй и третий методы сложнее и менее пользовательские по сравнению с первым. Метод Гивенса опережает Гаусса лишь точностью решения(в нашем случае шириной интервала).
Целью данной выпускной квалификационной работы является изучение теоретических аспектов данных методов для решения интервальной СЛАУ. В процессе выполнения работы необходимо решить следующие задачи:
1. Рассмотреть методы Гаусса, Гивенса и Хаусхолдера для решения ИСЛАУ.
2. Написать программу на основе изученных алгоритмов, а именно решить ИСЛАУ методами Гаусса, Гивенса и Хаусхолдера.
3. Провести вычислительные эксперименты.
4. Сравнить методы.

Весь текст будет доступен после покупки

1. ПОНЯТИЕ И ИСТОРИЯ ИНТЕРВАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Для начала разберёмся с понятием «интервальный анализ». Интервальный анализ – это дисциплина, которая служит для учёта ошибок округления во время вычисления на ЭВМ или цифровых вычислительных машинах (ЦВМ). Так как невозможно подлинно представить числа в машине с конечной разрядной сеткой, результат каждого довольно тяжелого расчета выдает некоторую ошибку, которая вызвана погрешностями округления входных данных и промежуточных результатов. Чтобы учесть эту ошибку можно каждую величину представить парой чисел, которые ограничены снизу и сверху и имеют точное представление в ЦВМ. При выполнении арифметических действий новый интервал вычисляется с помощью специальных операций.
Интервальное число - это интервал, в котором гарантированно находится истинное значение. Затем происходит формирование операций, результат которых соответственно тоже является гарантированным. То есть, с помощью интервалов можно одновременно представлять приближенное значение и его погрешность, а проблемы округления решаются при помощи направленных округлений.
Из-за отсутствия стандартов на вещественные числа и потребности в изучении спецификации конкретных машин развитие интервального анализа ранее замедлялось. Эта проблема была решена только в 1985 году после по-явления IEEE 754стандарта и различных библиотек для работы с числами, чья точность произвольна. Интервальные библиотеки имеются почти для всех популярных языков программирования (INTLAB, Boostinterval, libieeep1788, C-XSC, Pascal, Arb и многие другие). В таких системах компьютерной алгебры как Maple, Mathematica, MuPAD интервалы являются встроенными типами. Недавно вышел IEEE 1788стандарт на интервальные вычисления.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Moore R.E., Kearfott R.B., Cloud M.J. Introduction to interval analysis. – Philadelphia: SIAM, 2009.
2. Sunaga T. Theory of an interval algebra and its application to numerical analysis // RAAG Memoirs. – 1958. – Vol. 2, Misc. II. – P. 547-564.
3. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 356 с.
4. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: ВШ, 1994.
5. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.
6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 4-е изд. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 636 с.
7. Болотнов А.М. Компьютерное моделирование потенциальных электрических полей в электролитах на основе интервальных вычислений // Современные проблемы науки и об-разования. 2014. № 2. С. 670.
8. Болотнов А.М., Башаев М.А., Хисаметдинов Ф.З. Интервальные вычисления в алгоритмах расчета электрических полей катодной защиты магистральных трубопроводов // Системы управления и информационные технологии. 2015. Т. 62. № 4. С. 71–74.
9. Болотнов А.М., Бухмастова Е.В., Джураева Б.А. Интервальные вычисления в компьютерном моделировании электрических полей в электрохимических системах // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 57. № 3.1. С. 125–129.
10. Болотнов А.М., Закиева Г.Н. Применение интервальных вычислений при компьютерном моделировании электрических полей в электролитах // Вестник Башкирского университе-та. 2014. Т. 19. № 3. С. 799–803.
11. Болотнов А.М., Хисаметдинов Ф.З. Численные исследования катодной защиты трубопрово-дов с учетом интервальной неопределенности в исходных данных // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2018. Т. 22. № 3(81). С. 105–113.
12. Брауде Э.Дж. Технология разработки программного обеспечения. СПб.: Питер, 2004. 655 с.
13. Воеводин В.В. Ошибки округления и устойчивость в прямых методах линейной алгебры. М.: Изд-во МГУ, 1969. 153 с.

Весь текст будет доступен после покупки