Интервальный анализ - это направление, которое объединяет такие об-ласти знаний, как информатика и математика, и исследует задачи с интер-вальными неопределённостями, а также методы их решения.
Возникновение интервальных методов было необходимо для осуществления автоматического контроля ошибок округления на ЭВМ, в результате чего образовался один из разделов современной прикладной математики.
Наибольшее значение интервальный анализ и его методы имеют в задачах, где неоднозначности или неопределённости появляются еще в начале, а также являются неотъемлемой частью поставленной задачи.
Применение этих методов в вычислительных процессах необходимо для того, чтобы заключить в интервалы решения задач, о входных данных которых известно только то, что они лежат в определенных пределах. Кроме того, в получаемые интервалы вводятся и встречающиеся в процессе вычислений ошибки округлений. Если входные данные задачи определены правильно, то получаемые интервалы будут содержать точное решение. Соответственно, интервальный метод нужен для учета ошибок аппроксимации и округлений.
Интервальный анализ необходим для замены арифметических операций и вещественных функций интервальными операциями и функциями, преобразующие интервалы, которые содержат эти числа. Интервальные решения содержат точные решения исходных задач, что является их достоинством.
Интервальный анализ поначалу был набором инструментов для оценки качества вычислений и обеспечения строго контроля над ошибками округления. Впоследствии, он стал новым разделом математики и самостоятельной дисциплиной. Интервальные методы применяются в тех случаях, когда мы сталкиваемся с неточными значениями, погрешность которых можно строго оценить. Нечёткие множества, неточные множества и вероятностные методы могут решать задачи подобного рода, но доказать существование или отсутствие решений можно только применив интервальные методы.
Проблемы интервального анализа можно условно разделить на три группы:
1) исследование самого множества интервальных чисел как некоторой математической структуры;
2) применение интервальных методов к различным задачам прикладной математики;
3) программирование интервальных методов;
Прежде всего, актуальность интервального анализа заключается в ее применении при выполнении компьютерных расчетов. Например, внешне приближенные значения интервального анализа дают возможность показать диапазон полученных результатов при применении интервальных операций и функций. Это дает качественные отличия в научных вычислениях по отношению к традиционным, в которых применяются данные без учета ошибок округления, так как полученный результат в виде интервала(набора значений) гарантированно имеет верный результат внутри его крайних границ интервала.
Для решения ИСЛАУ будут сравниваться методы Гаусса, Гивенса (Вращений) и Хаусхолдера (Отражений). Первый метод известен своей популярностью во всех вычислительных отраслях, так как с помощью него возможно выполнение решения как отдельным алгоритмом, так и в паре с другими. Второй и третий методы сложнее и менее пользовательские по сравнению с первым. Метод Гивенса опережает Гаусса лишь точностью решения(в нашем случае шириной интервала).
Целью данной выпускной квалификационной работы является изучение теоретических аспектов данных методов для решения интервальной СЛАУ. В процессе выполнения работы необходимо решить следующие задачи:
1. Рассмотреть методы Гаусса, Гивенса и Хаусхолдера для решения ИСЛАУ.
2. Написать программу на основе изученных алгоритмов, а именно решить ИСЛАУ методами Гаусса, Гивенса и Хаусхолдера.
3. Провести вычислительные эксперименты.
4. Сравнить методы.
Весь текст будет доступен после покупки
