Приближенное решение интегрального уравнения с весовой функцией p(t) = v((1+t)/(1-t)) на отрезке [-1;1] с применением многочлена Чебышева III рода

ВВЕДЕНИЕ 3
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 4
1.1. Общие понятия уравнений Фредгольма и Вольтера 4
1.2. Теоремы Фредгольма 8
1.3. Ортогональные многочлены Чебышева 20
1.4. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности 23
1.5. Ряды Чебышева 31
1.6. Приближенные решения интегральных уравнений 34
1.7. Примеры 36
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40
ЛИТЕРАТУРА 41

Весь текст будет доступен после покупки

В данной работе рассматривается приближенное решение интегрального уравнения Фредгольма с применением многочлена Чебышева первого рода. Это тема является одним из разделов математического анализа.
Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные понятия интегральных уравнений.
Изучая какие-либо явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, т.е. пренебрегая второстепенным характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде интегральных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакциях, электрических и магнитных явлений, в электростатике, гидростатике и многих других разделов физики и математики.
Интегральные уравнения встречаются в различных областях науки и многочисленных приложениях (в теории упругости, гидродинамике, физике, экономике, медицине и т.д.).
Решение линейных интегральных уравнений очень актуально в наше время. Интегральные уравнения помогают в решении множества задач, которые порой невозможно или очень нерационально решать другим способом. На сегодняшний день это полноценный раздел, имеющий большое практическое значение.

Весь текст будет доступен после покупки

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Общие понятия уравнений Фредгольма и Вольтера
Интегральными уравнениями принято называть уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла.
Это определение не совсем удачно потому, что оно не указывает на действия кроме интегрирования, которые можно производить над неизвестной функцией. Например, «интегральное» уравнение с неизвестной функцией x(t)
x(t)=?_0^t-?x^' (s)ds+x(0)?
есть просто тождество, справедливое для любой непрерывно дифференцируемой функции, определенной в некотором интервале (–a,a).
Не ставя перед собой задачу дать логически безупречное определение интегрального уравнения, ограничимся приведенным вышеописанным определением и перечислим наиболее важные классы интегральных уравнений, которыми мы будем по преимуществу заниматься.
Линейные интегральные уравнения. Интегральное уравнение называется линейным, если в него неизвестная функция входит линейно. Так, уравнение
?(t)-??_a^b-?K(t,s)?(s)ds=f(t)?, (1.1.1)
где ?(t)- искомая функция, f(t),K(t,s)- известные функции, ?- параметр, есть линейное интегральное уравнение. Функция K(t,s),a?t,s?b, называется ядром интегрального уравнения (1), функция f(t),a?t?b, называется свободным членом.
Уравнение Фредгольма. Это один из наиболее важных классов линейных интегральных уравнений. Различают интегральные уравнения Фредгольма 1-го и 2-го рода. В простейшем случае линейное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода имеет вид
?(t)-??_a^b-?K(t,s)?(s)ds=f(t)?. (1.1.2)
Здесь ?(t)- неизвестная функция.
Пределы интегрирования a,b могут быть как конечными, так и бесконечными.
Считаем, что переменная t меняется в том же промежутке (a,b), по которому совершается интегрирование. В уравнениях Фредгольма ядро K(t,s) и свободный член f(t) либо непрерывны (первое – в квадрате Q{a?t,s?b}, второй – на отрезке a?t?b), либо удовлетворяют условиям
?_a^b-?|K(t,s)|^2 dtds<+?, (1.1.3)?
?_a^b-?|f(t)|^2 dt<+?. (1.1.4)?
Ядра, удовлетворяющие условию (3), будем называть фредгольмовыми.
Если f(t)?0 (точнее, если f(t) обращается в нуль почти всюду в [a,b]), то интегральное уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным.
Отметим, что (2) представляет собой не одно уравнение, а семейство уравнений, зависящее от числового параметра ?.

Весь текст будет доступен после покупки

1. М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко: Интегральные уравнения; Издательство Наука, Москва 1968.
2. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа
3. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры: Учебник для вузов / А.Г. Курош. - СПб.: Лань, 2010. - 432 c.
4. Хубежты Ш.С. Квадратные формулы для сингулярных интегралов.
5. Б.А. Зон: Лекции по интегральным уравнениям; Москва «Высшая школа» 2004.
6. Васильева А.В., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
7. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. - 2-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
8. Манжиров А.В., Полянин А. Д. Методы решения интегральных уравнений: Справочник. — М.: «Факториал».
9. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

Весь текст будет доступен после покупки