Б. Паскаль и метод математической индукции

ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 8
1.1 История развития метода математической индукции 8
1.2 Сущность принципа математической индукции в математике 13
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 21
2.1. Анализ применения метода математической индукции для решения различных задач 21
2.2 Решение задач повышенной трудности с помощью метода математической индукции 29
2.3 Решение задач методом математической индукции из Единого государственного экзамена 34
ГЛАВА 3. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЛЕЬНОЙ ШКОЛЕ 37
3.1 Методические особенности применения принципа математической индукции при обучении учащихся 10-11-х классов общеобразовательной школы 37
3.2 Методические рекомендации по реализации принципа математической индукции на углубленном уровне изучения математики школьниками 51
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 57
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 59

Весь текст будет доступен после покупки

Математика играла очень важную роль в развитии человеческой культуры и мира в целом. Она является фундаментом для научно-технического прогресса, а также первоисточником знаний окружающего нас мира. В мире практически не осталось профессий, где бы ни требовались математические знания, умения и навыки. В настоящий период математика проникла в такие области как журналистика, управление государством, медицина и многое другое. Безусловно, сейчас как никогда прежде возникает острая необходимость глубокого и тщательного изучения различных математических методов для решения задач, а также умение их применять, развития логического мышления и улучшение математической интуиции, в первую очередь, у школьников.
Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту первая и главная задача школьного математического образования [24], а соответственно и самая сложная цель, стоящая перед учителем математики – это сформировать у обучающихся умение логически правильно выстраивать доказательства, извлекать главные факты, то есть проводить анализ, основываясь на логических правилах. Специалисты в области методики преподавания математики считают, что формирование индуктивного и дедуктивного мышления обучающихся является главным в курсе обучения математики, так как курс строится на обучении через доказательство.

Весь текст будет доступен после покупки

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
1.1 История развития метода математической индукции
«Метод математической индукции – это метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел».[9]
Еще Евклид в III в. до н.э. использовал в неявном виде метод математической индукции в своих «Началах». Однако только в XVII веке данный метод был применен в современной трактовке выдающимся французским ученым - математиком Блезом Паскалем (1623 – 1662 гг.) при доказательстве свойств числового треугольника, который впоследствии стал называться в честь него. Современное название метода математической индукции было введено де Морганом в 1838 году.
Блез Паскаль являлся одним из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии. Первым его открытием была счетная машина (машина Паскаля), ставшая моделью современного калькулятора. Она представляла собой ящик, наполненный множественными соединенными друг с другом шестерёнками, и вычисляла шестизначные числа. Числа, которые требовалось сложить или вычесть, вводились соответствующим оборотом колёс, суть работы заключалась на подсчёте оборотов. Б. Паскаль лично контролировал изготовление всех деталей машины для того, чтобы обеспечить правильность работы своего создания.
Блез Паскаль сделал вывод, что давление воздуха - это частный случай равновесия жидкостей и давления внутри них. Он доказал гипотезу Торричелли о существовании атмосферного давления. В своём «Трактате о равновесии жидкостей», Б.Паскаль сформулировал закон распределения давления в жидкостях, обосновав выводы работ Стевина и Галилея в разделе гидростатики. В одной из глав данного трактата он описал принцип работы гидравлического пресса: «сосуд, наполненный водою, является новым принципом механики и новой машиной для увеличения сил в желаемой степени, потому что с помощью этого средства человек сможет поднять любую предложенную ему тяжесть» и заметил, что его механизм действия зависит от того же закона, что и принцип рычага. [25] Таким образом, Б.Паскаль определил основной закон гидростатики, установив существование атмосферного давления. В настоящее время различные гидравлические устройства: тормозные системы, гидравлические прессы работают на основании закона Б.Паскаля.
Блез Паскаль положил начало такой науки, как теория вероятностей, дающей количественную оценку случайным событиям, то есть событиям, которые могут произойти, а могут не произойти.
В трактате «О характере делимости чисел» Б.Паскаль нашел общий признак делимости. А также обнаружил уникальный метод решения задач на вычисление площадей и объемов, что явилось большим шагом в развитии анализа бесконечно малых.
В алгебре существует 4 вида индукции (индуктивного умозаключения):
1. Неполная индукция – это индукция, в которой вывод строится на основе только отдельной части фактов (наблюдений). Однако результат, полученный данной индукцией, всегда будет гипотезой, пока не будет доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. [12]
Пример 1. «Рассмотрим трехчлен x2+x+41. Его заметил Леонард Эйлер (1707–1783). Он увидел, что, подставив вместо x нуль, получается простое число. При x = 1 значением многочлена является 43 – также простое число. Продолжая подставлять в трехчлен последовательно значения x= (2;10) ?, каждый раз получались простые числа: 47; 53; 61; 71; 83; 97; 113; 131; 151 соответственно. Основываясь на этих результатах еще ошибочно утверждать, что, подставляя в трехчлен вместо х любое натуральное число, всегда будет получаться простое число». [12]

Весь текст будет доступен после покупки

1. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В.Семенов. – 6-е изд. стер М.: Мнемозина, 2012. – 287с.
2. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и углубленный уровни)/ А. Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 3 изд., стер. – М.: Мнемозина, 2015. - 264 с.
3. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и углубленный уровни) / А. Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 3 изд., стер. – М.: Мнемозина, 2015.
4. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебник для общеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни / Ю.М. Колягин [и др.] ; под ред. А.В. Жижченко. - М.: Просвещение, 2014.
5. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2-х ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый и углубленный уровни) /А.Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 3-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2013. - 287 с.:
6. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учебник для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / Ю.М. Колягин [и др.] ; под ред. А. В. Жижченко. - М.: Просвещение, 2016.
7. Башмаков М.И. Методические разработки для учащихся ВЗМШ по теме: «Последовательности» и «Метод математической индукции». – М.: Изд-во АПН СССР,1976.

Весь текст будет доступен после покупки