Линейные разностные уравнения и их приложения

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Вспомогательные формулы элементарного суммирования 5
2 Постановка задачи 11
3 Однородное линейное уравнение 13
4 Неоднородное линейное уравнение 15
5 Общий вид линейных уравнений 18
6 Основные теоремы о решениях линейного уравнения 19
7 Линейная зависимость и независимость последовательностей 25
8 Свойства частных решений линейного однородного уравнения 31
9 Неоднородное линейное уравнение. Метод вариации постоянных 37
10 Выражение многократной суммы через однократную 42
11 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 46
12 Решение неоднородного линейного уравнения 53
Примеры 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 64
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 65

Весь текст будет доступен после покупки

Теория конечных разностей имеет большое значение как для приближенных вычислений, том числе для численного интегрирования и приближенного решения дифференциальных уравнений, так и для конструктивной теории функции действительного и комплексного переменного, теории вероятностей и теории чисел. По своей современной проблематике теория конечных разностей ближе всего к конструктивной теории функций, с которой она в значительной степени и сливается. Исторически основные линии развития теории конечных разностей в действительной области были определены работами Л. Эйлера, П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, а в наше время -работами С. Н. Бернштейна и его школы. За последние 50 лет получили у нас большое развитие и исследование в области комплексного переменного.
Во многих случаях представляет интерес моделирование развития некоторой системы с течением времени. Существуют два разных типа задач. Можно думать о времени как о непрерывной переменной или же как о дискретной переменной.
Первый случай часто приводит к дифференциальным уравнениям, а второй - к разностным. Разностные уравнения имеют широкое применение в динамике численности популяций, их можно использовать для описания эволюции многих процессов с течением времени.

Весь текст будет доступен после покупки

1 Вспомогательные формулы элементарного суммирования

Из определения конечной разности ?Y_n=Y_(n+1)-Y_n с помощью несложных вычислений легко получить формулы

1) ?a^n=a^(n+1)-a^n=a^n (a-1)
?_(k=0)^n-?a^k=1/(a-1) ?_(k=0)^n-??a^k=1/(a-1) ?_(k=0)^n-??(a?^(k+1)-a^k)=???
=1/(a-1)(a^1-a^0+a^2-a^1+a^3-a^2+??+ a?^(n+1)-a^n=
=1/(a-1) (a^(n+1)-a^0 )=(a^(n+1)-1)/(a-1)

2) ? sin??n=sin??(n+1)-sin??n=
=2 sin??(?(n+1)-?n)/2? cos??(?(n+1)+?n)/2=?
=2 sin???/2? cos??(?n?+?/2)?
?_(k=0)^n-cos?(?/2+?k) =1/(2 sin???/2? ) ?_(k=0)^n-?(sin??(k+1)-sin??k )=?=1/(2 sin???/2? ) (sin??(n+1)-sin??0 )=sin?(n+1)/(2sin??/2)

3) ? 1/n=1/(n+1)-1/n=(n-n-1)/n(n+1) =-1/n(n+1)
?_(k=0)^n-1/(n(n+1))=-?_(k=0)^n-(1/(n+1)-1/n) ==-(1/2-1+1/3-1/2+?+1/(n+1)-1/n)=1-1/(n+1)

4) ?arctg n=arctg (n+1)-arctg n==arctg(tg(arctg (n+1)-arctg n))=
=arctg((tg(arctg (n+1))-tg(arctg n))/(1+tg(arctg (n+1))tg(arctg n) ))=arctg 1/(1+n(n+1) )
?_(k=0)^n-arctg 1/(1+k(k+1) )=?_(k=0)^n-(arctg(k+1)-arctg k) =arctg 1-arctg 0++ arctg 2-arctg 1+?+arctg (n+1)-arctg n =-arctg 0++arctg(n+1)= arctg(n+1).

Таких формул можно было бы привести очень много, но уже из приведенных видно, что формулы суммирования являются более громоздкими и менее удобными в обращении, чем формулы интегрального исчисления. Так, например, формула суммирования обычной степени имеет уже очень громоздкий вид, поэтому удобно ввести некоторый аналог степени.
Большую роль в теории конечных разностей играет обобщенная степень n^([k])=n(n-1)…(n-k+1)(k-натуральное),? n?^[0] =1.
Для обобщенной степени формулы суммирования выглядят очень просто. Как мы уже знаем,

?n^([k])=kn^([k-1]), (1)

используя определение n^([k]) указанное выше, докажем это равенство

?n^[k] =(n+1)^[k] -n^[k] =
=(n+1)n(n-1)…(n-k+2)-n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=
=((n+1)-(n-k+1))n(n-1)(n-2)…(n-k+2)=kn^[k-1] ,

поэтому

?_(n=0)^t-n^[k] =?(t+1)?^([k+1])/(k+1). (2)

Покажем это используя формулу (1)

?_(n=0)^t-n^[k] =?_(n=0)^t-?(?n^[k+1] )/(k+1)=((t+1)^[k+1] -t^[k+1] +?+1^[k+1] -0^[k+1] )/(k+1)?=
=?(t+1)?^([k+1])/(k+1).

Аналогично можно определить обобщенные отрицательные степени n^([-k]) (k-целое положительное число):

n^([-k])=1/(n(n+1)…(n+k-1)). (3)

Найдем ??n?^([-k]):

??n?^[-k] =-kn^[-k-1] . (4)

Распишем это по формуле (3)

Весь текст будет доступен после покупки

1 Гельфонд, А. О. Исчисление конечных разностей /А. О. Гельфонд.-М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2018. – 376с.
2 Цалюк, З.Б. Сборник задач по функциональному анализу : учебное пособие / З.Б. Цалюк, В.Ф. Пуляев ; М. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. –152 с.
3 Романко, В.К. Разностные уравнения : [Электронный ресурс] : учебное пособие / В.К. Романко. – 2-е изд. (эл.). –М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. –108 с.

Весь текст будет доступен после покупки