Результант и дискриминант в исследовании многочленов и решении систем уравнений

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………….……3
Исторические сведения о возникновении квадратных уравнений...………..…5
Глава 1. Результант…..……………………………..………………………….…8
1.1 Определение результанта.……………………………………….….…….8
1.2 Системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными произвольной степени и их решение методом исключения……………………………………………………………………………..13
1.3 Исключение неизвестного при помощи результанта…………...………...16
Глава 2. Дискриминант………………………………………………………….18
2.1 Выделение кратных множителей…...………………………………………18
2.2 Определение дискриминанта……………………………………………….21
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….23
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……..………………….....25
ПРИЛОЖЕНИЕ А…………………………………………………….………....27
ПРИЛОЖЕНИЕ Б……………………………………………………………….39

Весь текст будет доступен после покупки

Теория многочленов - важнейший раздел алгебры. Теория многочленов часто применяется в курсе линейной алгебры (в решении характеристических уравнений для нахождения собственных значений линейного оператора), в курсе математического анализа, в методах приблизительного вычисления, а также при изучении других разделов математики.
Актуальностьтемы выпускной квалификационной работы обусловлена тем, чтос изучением многочленов связывают целый ряд важных преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательного, а затем и комплексного числа, появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в математическом анализе.
Одним из главных вопросов в алгебре многочленов является вопрос существования корней уравнения. Так известно, что есть даже квадратные уравнения с действительными коэффициентами, не имеющими действительных корней. Изучение таких уравнений и их решений являлось основой развития классической алгебры на протяжении нескольких сотен лет.
Таким образом, многочлены – это oдин из нaиболee знaчимых клaccoв элeмeнтaрных фyнкций. Этим обусловлена актуальность выбранной темы выпускной квалификационной работы.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1. РЕЗУЛЬТАНТ
1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАНТА
Алгоритм Евклида позволяет найти наибольший общий делитель двух конкретных многочленов и, в частности, выяснить, являются ли они взаимно простыми.
Однако он не дает в явном виде условия, которому должны удовлетворять коэффициенты двух многочленов для того, чтобы эти многочлены были (или, наоборот, не были) взаимно просты.
Аналогичная ситуация возникает в линейной алгебре. Метод Гаусса позволяя решать конкретные системы линейных уравнений, не даёт явного условия на коэффициенты системы, при котором данная система совместна, или, скажем, определенна. Такие условия могут быть получены при помощи понятия определителя. [9, c. 28]
В этой главе найдем соотношение между коэффициентами двух многочленов, выполнение которого необходимо и достаточно для того, чтобы многочлены не были взаимно просты; придем к понятию результанта, которое в дальнейшем будет применено к решению системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными.
Пусть f = a0xn + a1xn-1 + … + an,
g = b0xm + b1xm-1 + … + bm - два многочлена из произвольного поля Р, причем a0 ? 0, bo ? 0, так что deg f=n, deg g=m.
Из формулы
[f, g](f, g) = cfg (c€P, c ? 0) (1)
следует, что многочлены f и g не являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда их наименьшее общее кратное имеет степень, меньшую, чем их произведение.[6, c.43] Наименьшее общее кратное h многочленов f и g представляется в виде h = fu и одновременно в виде h = gv, где u и v – некоторые многочлены.
Имеем:
deg h = deg f + deg u = deg g + deg v.
Так как deg fg = deg f + deg g, то из условия deg h< deg fg следует, что
deg u < deg g=m, deg v< deg f=n.
Таким образом, если многочлены f и g не взаимно просты, то существуют такие многочлены v и u, что
fu=gv deg u Обратно, если существуют многочлены u и v, удовлетворяющие условиям (2), то многочлен fu=gv, являющийся общим кратным многочленов f и g, имеет степень, меньшую, чем степень произведения fg. Степень наименьшего общего кратного в этом случае тем более меньше степени fg, и, значит, многочлены f и g не являются взаимно простыми. [6, c.44]
Так, вопрос о взаимной простоте многочленов f и g сводится к вопросу о существовании многочленов u и v, удовлетворяющих условиям (2).
Выясним, когда такие многочлены существуют. Для этого запишем их в общем виде:
u=u1xm-1 + u2xm-2 + … + um,
v=v1xn-1 + v2xn-2 + … + vn.
Предположим, для определенности, что m?n. Каждое из произведений fu, gv представляет собой многочлен степени не выше n + m – 1. Коэффициенты многочлена fu, записанные в столбец, имеют вид:
a0u0,
a1u1 + a0u2,
…
am-1u1 + am-2u2 + … + a1um-1 + a0um,
amu1 + am-1u2 + … + a2um-1 + a1um,
…
anu1 + an-1u2 + … + an-m+2um-1 + an-m+1um,
anu2 + … + an-m+3um-1 + an-m+2um,
...
anum-1 + an-1um,
anum.
Коэффициенты многочлена gv имеют вид:
b0v1,
b1v1 + b0v2,
bmv1 + bm-1v2 + … + b0vm+1,
bmv2 + … + b0vm+2,
…
bmvn-m + … + b0vn,
bmvn-1 + bm+1vn,
bmvn.
Приравнивая коэффициенты многочленов fu и gv при одинаковых степенях х, получаем систему однородных линейных уравнений относительно неизвестных u1, u2, …, um, v1, v2, …, vn. Число уравнений этой системы равно n + m, т.е. числу неизвестных. Если перенести все члены с v1, v2, …,vn в левую часть, то получится следующая матрица при неизвестных(приводим запись матрицы в случае, когда n>m):
a1 … –b0
a1a0 –b1 –b0
.
.
.
.
am-1 am-2 … a0 –bm-1 –bm-2 … –b0
am am-1 … a1 –bm –bm-1 … –b1 –b0
am+1 am … a2 –bm … –b2 –b1 –b0
…………………
an an-1 … an-m+1 –bm … –b0
an … an-m+2 –bm … –b1
an an-1 –bm –bm-1
an –bm.
Рассматриваемая система уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. При его вычислении умножим на –1 для удобства последние n столбцов и транспонируем матрицу. Полученный определитель
a0a1…an
a0a1…an m строк
…..
R(f, g)= a0a1…an (3)
b0b1…bm
b0b1…bm n строк
…..
b0b1…bm
называется результантом многочленов f и g. [3, c.272]
Таким образом, доказано следующее утверждение:
ТЕОРЕМА 1:
Многочлены f, g € P[x] не являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда их результант R(f, g), определяемый формулой (3), равен нулю.[6, c.46]
ЗАМЕЧАНИЕ:
Если не предполагать, что коэффициенты a0, b0 отличны от нуля, то обращение в нуль определителя (3) остается н е о б х о д и м ы м условием того, чтобы многочлены f и g не были взаимно просты. В самом деле, если f и g не взаимно просты, то существуют такие ненулевые многочлены u и v, что
fu = gv, deg u < deg g, deg v < deg f.
Поскольку мы не предполагаем, что a0 ? 0, b0 ? 0, нельзя утверждать, что deg f = n и deg g = m, но, во всяком случае,
deg f ? n, deg g ? m. [6, c.46]
Поэтому многочлены u и v тем более удовлетворяют условиям (2), а из существования таких многочленов так же, как и выше, следует, что определитель (3) равен нулю. [6, c.46]
Пример:
Выяснить, являются ли взаимно простыми многочлены:
,f(x)=x^2-2x+2
g(x)=x^4-?2x?^3+?3x?^2-2x+2
Решение:
Для того, чтобы выяснить, являются ли данные многочлены взаимно простыми, вычислим их результант. Их результантом будет определитель 6-го порядка:
R(f(x),g(x))=|

Весь текст будет доступен после покупки

1. Бантова, М.А. Решение текстовых арифметических задач [Текст] / М.А. Бантова. – М.: Просвещение, 1989. - 320с.
2. Бочкарева, В.Д. Алгебра в примерах и задачах [Текст]: учебно-методическое пособие / В.Д. Бочкарева. – МГУ им. Н.П. Огарёва, 2012. – 6 с.
3. Бухштаб, А.А. Теория чисел [Текст] / А.А. Бухштаб. – М.: Просвещение, 1965. – 385 с.
4. Варпаховский, Ф.Л. Алгебра [Текст] / Ф.Л. Варпаховский, А.С. Солодовников. – М.: Просвещение, 1978. – 160 с.
5. Васильев, В.А. Геометрия дискриминанта [Текст] / В.А. Васильев. – М.: МЦНМО, 2017. – 16 с.
6. Винберг, Э.Б. Алгебра многочленов [Текст]: учебное пособие для студентов-заочников III-IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов / Э.Б. Винберг. – М.: Просвещение, 1980. – 176 с.
7. Виноградов, И.А. Основы теории чисел [Текст] / И.А. Виноградов. – М.: Наука, 1972. – 168 с.
8. Калинина, Е.А. Теория исключения [Текст]: учебное пособие / Е.А. Калинина, А.Ю. Утешев. – НИИ химии СПбГУ, 2002. – 72 с.
9. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры [Текст] / А.И. Кострикин. – М.: Физико-математическая литература, 1994. – 319 с.
10. Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел [Текст] / Л.Я. Куликов. – М.: Высшая школа, 1979 – 559 с.

Весь текст будет доступен после покупки