ГЛАВА 1 МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 3 СТЕПЕНИ И ВЫШЕ
1.1 История методов решения уравнений высших степеней
В 1505 году впервые было выдвинуто решение одного частного случая кубического алгебраического уравнения благодаря Сципион дель Феррео. Однако данное решение не было опубликовано, но он его передал своему ученику – Антонио Фиоре.
Когда Фиоре находился в Венеции в 1535 году, он вызвал на состязание известного в то время математика Никола Тарталья из Брешии и предложил ему несколько вопросов на тему решения уравнения третьей степени. Но в то время, Тарталья уже имел свои методы решения таких уравнений и согласился на вызов. В результате состязания Флориде получил полное поражение.
Методом решения Тарталья в то время заинтересовался профессор математики и физики Кардано. Он готовил к печати своё обширное сочинение об арифметике, геометрии и алгебре, туда же он хотел добавить решения уравнений 3-й степени, но Тарталья отказывался передать знания о своем способе.
Только когда Кардано поклялся над Евангелием и дал честное слово дворянина, что тот не раскроет секрет решения уравнения. Спустя некоторое время, Тарталья всё же согласился и передал метод в виде стихов. Но Кардано не только понял правила применения для решения уравнений, но и нашел доказательства для них. Не смотря на данное им обещание, Кардано все же опубликовал метод Тартальи, и метод этот до сегодняшнего дня известен под названием «Формулы Кардано».
Спустя некоторое время было открыто и решение уравнений четвертой степени. Один итальянский математик предложил задачу, но для решения было недостаточно знать тех правил, которые были необходимы для решения биквадратных уравнений. Кардано предложил данную задачу своему ученику Луиджи Феррари, а тот решил задачу и нашел способ решать уравнения 4-ой степени, сводя их к уравнениям 3-ей степени.
В 1545 году вышла книга Д. Кардано «Великое искусство, или о правилах алгебры», в которой вместе с другими вопросами алгебры, используются различные способы решения кубических уравнений, и метод решения уравнений 4-ой степени, который и был открыт благодаря ученику Луиджи Феррари.
В результате поисков метода решения алгебраических уравнений высших степеней, которые не поддаются решению теми способами, что рассматриваются в школьных программах, стали способы, основанные на применении теоремы Виета, теоремы Безу, схемы Горнера, формулы Кардано и Феррари.
1.2 Метод Кардано
Формула Кардано – формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения над полем комплексных чисел.
Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов:
Этап 1. Кубическое уравнение вида
a_0 x^3+a_1 x^2+a_2 x+ a_3=0 (1)
где a_0,a_1,a_2,a_3 – произвольные числа, a_0 ? 0 приводится к кубическому уравнению, у которого отсутствуют член со второй степенью неизвестного. Такое кубическое уравнение называют трехчленными кубическими уравнениями.
Этап 2. Трехчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
Применим данные этапы на практике:
Этап 1. Разделим кубическое уравнение (1) на старший коэффициент a_0. Получаем уравнения вида
x^3+ax^2+bx+c=0 (2)
где a,b,c- произвольные вещественные числа.
Заменяем переменную x в уравнении (2) на новую переменную y по формуле:
x=y- a/3. (3)
Получаем:
x^3+ax^2+bx+c=(y- a/3)+?a(y-a/3)?^2+b(y- a/3)+c= y^3-3•y^2• •a/3+3•y•a^2/q-a^3/27+a(y^2-2•y•a/3+a^2/q)+by-ba/3+c=y^3- y^2 a+ 1/3 ya^2--?2a?^3/27+ay^2-2/3 ya^2+a^3/9+by-ba/3+c=y^3-(a^2 y)/3+?2a?^3/27+by-ab/3+c= y^3++(b-a^2/3)y+c+(2a^3)/27-ab/3 (4)
уравнение примет вид:
y^3+(b-a^2/c)+c+(2a^3)/27-ab/3=0 (5)
Введем обозначения:
p=b- a^2/3; q=c+ ?2a?^3/27- ab/3;
Следовательно, уравнение принимает новый вид:
y^3+py+q=0 (6)
где p,q- вещественные числа.
Получили трехчленное кубическое уравнение, у которого отсутствует член со второй степенью неизвестного.
Этап 2. Сведение трехчленного кубического уравнения к квадратному уравнению при помощи метода Тартальи.
Исходя из метода, примененному Тартальей для решения трехчленных кубических уравнений, приступим к поиску решений уравнения (6) в виде
y= ?t-p/(3?t), (7)
где t – новая переменная.
Если
y^3=(?t-p/(3?t))^3=(?t)^3-3(?t)^2 p/(3?t)+3?t p^2/(9(?t)^2 )-p^3/(27(?t)^3 )=t-p?t++p^2/(3?t)-p^3/27t,
то выполнено равенство:
y^3+py+q=t-p?t+p^2/(3?t)-p^3/27t+p(?t-p/(3?t))+q=t-p?t+p^2/(3?t)--p^3/27t+p?t-p^2/(3?t)+q=t-p^3/27t+q (7)
Наше уравнение получает вид:
t-p^3/27t+q=0 (8)
Умножаем уравнение (8) на t, получаем квадратное уравнение относительно t:
t^2+qt-p^3/27=0 (9)
Формула Кардано
Решение уравнения (9) имеет вид:
t_1,2=(-q±v(q^2+?4p?^3/27))/2=-q/2± v(q^2/4+p^3/27); (10)
В соответствии с (7), получаем, что уравнение (6) имеет два решения:
y_1=?(t_1 )-p/(3?(t_1 )), y_2=?(t_2 )-p/(3?(t_2 )); (11)
В развернутой форме эти решения записываются следующим образом:
y_1=?(-q/2+v(q^2/4+p^3/27)) -p/(3?(-q/2+v(p^2/4+p^3/27)) ), (12)
y_2=?(-q/2-v(q^2/4+p^3/27)) -p/(3?(-q/2-v(p^2/4+p^3/27)) ). (13)
Теперь проверим, совпадают ли решения (12) и (13).
Действительно,
y_1=?(-q/2+v(q^2/4+p^3/27)) -p/(3?(-q/2+v(p^2/4+p^3/27)) )=?(-q/2+v(q^2/4+p^3/27)) --(p?(-q/2-v(q^2/4+p^3/27)) )/(3?((-q/2+v(p^2/4+p^3/27))(-q/2-v(p^2/4+p^3/27)) ))=?(-q/2+v(q^2/4+p^3/27)) -(p?(-q/2-v(q^2/4+p^3/27)) )/(3?(-p^3/27))= =?(-q/2+v(q^2/4+p^3/27)) +?(-q/2-v(q^2/4+p^3/27)) =?(t_1 )+?(t_2 ), (14)
а с другой стороны,
Весь текст будет доступен после покупки
