Логарифм и его свойства в школьном курсе математики

ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 6
1.1. Понятие логарифма и его свойства 6
1.2.Основные виды и методы решения логарифмических уравнений и неравенств 9
1.3.Различные подходы к изучению логарифмов в школьном курсе математики. Анализ УМК. 21
ГЛАВА 2. ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 28
2.1. Особенности изучения логарифмической функции в школьном курсе математики 28
2.2. Методические рекомендации по изучению темы «Логарифм» . 31
2.3. Задания разного уровня сложности по данной теме. 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 61
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 64

Весь текст будет доступен после покупки

Изучаемая в школьном курсе математики содержательно-методическая линия «Уравнения и неравенства» имеет огромное и теоретическое, и прикладное значение. Учащиеся овладевают различными способами исследования математических моделей, которые позволяют ставить и успешно решать проблемы из различных областей. В рамках этой темы изучаются различные виды уравнений и неравенств – линейные, квадратные, дробно-рациональные, высших степеней, трансцендентные, иррациональные, с параметрами и другие. Данная работа посвящена логарифмическим уравнениям и неравенствам, методам их решения.
Степени, корни и логарифмы занимают центральное место в курсе алгебры и начал анализа 10–11 классов. В свою очередь, их изучение тесно связано с числовыми системами. Действительные числа являются последним расширением числовых множеств, изучаемых в рамках общеобразовательного курса математики. Тема «Логарифмические уравнения и неравенства» имеет огромное практическое применение, тесно связана со всеми разделами элементарной и высшей математики, с другими дисциплинами. От её усвоения во многом зависит успешность обучения в ВУЗах, где предусмотрены математические курсы.
Изучение логарифмических функций и неравенств, согласно федеральным государственным образовательным стандартом, включено в школьный курс математики, однако, форма предоставления материала значительно отличается в учебных пособиях разных авторов.
По теме «Логарифм» в программу входит рассмотрение и изучение следующих вопросов:
? Логарифм числа.
? Основные свойства логарифмов.
? Логарифмическая функция, её свойства и график.
? Решение логарифмических уравнений и неравенств.
? Число e и натуральный логарифм.
Экзамен в форме ЕГЭ по математике содержит задания на различные темы школьного курса, и одна из таких тем – это «Логарифмы». Она изучается в курсе «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. Но следует заметить, что тема «Логарифмы» вызывает у учащихся трудности при изучении. Кроме того, задания по данной теме содержатся как в базовом, так и в профильном уровнях экзамена, а в последнем в обеих частях. Это говорит о том, что задания высокого уровня сложности по теме «Логарифмы» требуют от учащихся глубоких знаний данной темы и владение практическими навыками их решения. Отсюда следует актуальность темы исследования.
В старших классах значительное время отводится подготовке к ЕГЭ. С нашей точки зрения, особое внимание нужно уделить теоретической основ. Необходимо сначала сформировать навыки использования простейших алгоритмов. И лишь затем переходить к рассмотрению более сложных задач.
В современной школе реализуется личностно-ориентированный подход, который в старших классах реализуется через дифференциацию – профильную или уровневую. Разноуровневые задания способствуют повышению внутренней мотивации, развитию познавательного интереса, созданию ситуации успеха. При их разработке следует исходить из принципов доступности, открытости, добровольности. Использование в комплексе разноуровневых заданий различных методов решения логарифмических уравнений и неравенств, четко сформулированных алгоритмов для простейших случаев будет способствовать овладению знаниями и умениями по данной теме на более высоком уровне.
По нашему мнению, указанному разделу уделяется недостаточное внимание, так как это лишь один из многочисленных вопросов насыщенного материалом учебника 10-11 классов. Анализ результатов обучения свидетельствует о том, что учащиеся допускают много ошибок при решении логарифмических уравнений и неравенств, основной из которых является появление посторонних решений.
Целью исследования является рассмотрение различных подходов к изучению темы "Логарифм" в школьном курсе математики и разработка комплекса разноуровневых упражнений по теме "Логарифмические уравнения и неравенства".
Объектом исследования является процесс обучения математики в средней школе.
Предметом исследования являются подходы к изучению логарифмических уравнений, неравенств и функции на уроках математики.
Основные задачи исследования:
1. Подготовить теоретический материал по теме "Логарифм";
2. Исследовать методы и способы решения логарифмических уравнений и неравенств;
3. Проанализировать различные подходы к изучению логарифмических уравнений и неравенств;
4. Рассмотреть особенности изучения данной темы в школьном курсе математики;
5. Разработать комплекс разноуровневых упражнений по теме исследования.
В соответствии с поставленными задачами использовались следующие методы исследования: теоретические (анализ литературы, аналитико-синтетический метод изучения фактов, сравнение, синтез эмпирического материала, моделирование, обобщение.); эмпирические (беседа, изучение опыта работы учителей школ, наблюдение).
Теоретическая значимость работы заключается в том, что выделены основные виды логарифмических уравнений и неравенств, методы их решения, практическая значимость – в том, что её результаты могут быть использованы для повышения качества изучения данной темы в курсе алгебры и начал анализа 10-11 классов, а также на занятиях по элементарной математике в Педагогических Вузах на физико-математических факультетах.
Данная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы и приложений.

Весь текст будет доступен после покупки

ГЛАВА 1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1.1. Понятие логарифма и его свойства

При решении показательных уравнений удается представить обе части уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями и рациональными показателями. Так, например, при решении уравнения мы заменяем степенью и из равенства степеней с одинаковыми основаниями делаем вывод о равенстве показателей: х=-5/6. Однако, чтобы решить, казалось бы, более простое уравнение 2х=3, стандартных знаний оказывается недостаточно.
Дело в том, что число 3 нельзя представить в виде степени с основанием 2 и рациональным показателем.
Действительно, если бы равенство, где m и n — натуральные числа, было верным, то, возведя его в степень n, мы должны были бы получить верное равенство 2m = 3n. Но последнее равенство неверно, так как левая его часть является четным числом, а правая — нечетным. Значит, не может быть верным и равенство. С другой стороны, график непрерывной функции y = 2x пересекается с прямой y = 3, и, значит, уравнение 2x = 3 имеет корень. Таким образом, перед нами стоят два вопроса: «Как записать этот корень?» и «Как его вычислить?». Показатель степени, в которую нужно возвести число a (a > 0,a ? 1), чтобы получить число b, называется логарифмом b по основанию a и обозначается log_a?b[10].
Теперь мы можем записать корень уравнения 2х = 3: х = log_a?3 Равенства ax = b и x = log_a?b, в которых число a положительно и не равно единице, число b положительно, а число x может быть любым, выражают одно и то же соотношение между числами a,b и x. Подставив в первое равенство выражение x из второго, получим основное логарифмическое тождество.
ГЛАВА 1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1.1. Понятие логарифма и его свойства

При решении показательных уравнений удается представить обе части уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями и рациональными показателями. Так, например, при решении уравнения мы заменяем степенью и из равенства степеней с одинаковыми основаниями делаем вывод о равенстве показателей: х=-5/6. Однако, чтобы решить, казалось бы, более простое уравнение 2х=3, стандартных знаний оказывается недостаточно.
Дело в том, что число 3 нельзя представить в виде степени с основанием 2 и рациональным показателем.
Действительно, если бы равенство, где m и n — натуральные числа, было верным, то, возведя его в степень n, мы должны были бы получить верное равенство 2m = 3n. Но последнее равенство неверно, так как левая его часть является четным числом, а правая — нечетным. Значит, не может быть верным и равенство. С другой стороны, график непрерывной функции y = 2x пересекается с прямой y = 3, и, значит, уравнение 2x = 3 имеет корень. Таким образом, перед нами стоят два вопроса: «Как записать этот корень?» и «Как его вычислить?». Показатель степени, в которую нужно возвести число a (a > 0,a ? 1), чтобы получить число b, называется логарифмом b по основанию a и обозначается log_a?b[10].
Теперь мы можем записать корень уравнения 2х = 3: х = log_a?3 Равенства ax = b и x = log_a?b, в которых число a положительно и не равно единице, число b положительно, а число x может быть любым, выражают одно и то же соотношение между числами a,b и x. Подставив в первое равенство выражение x из второго, получим основное логарифмическое тождество.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Алгебра. Базовый курс с решениями и указаниями : учебно-¬методическое пособие / Н.Д. Золотарёва, Ю.А. Попов, Н.Л. Семендяева [и др.] ; под ред. М.В. Федотова. - Москва : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. - 567с.
2. Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – М. : Просвещение, 2015. – 384 с.
3. Башмаков, М.И. Алгебра и начала математического анализа: Учеб.для 10-11кл. сред. шк. - 2-е изд.- М.: Просвещение, 1992. - 351с.
4. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса, учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин. – Москва : Просвещение, 2017. – 287 с.
5. Доброва О. Н. Задания по алгебре и математическому анализу / О.Н. Доброва. – Москва : Просвещение, 2016. – 352 с.
6. Дорофеев, Г.В. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс / Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин - 11-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 160с.
7. Ивлев Б. М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа / Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, С.И. Пиварцбурд. – Москва : Просвещение, 2017. – 258 с.
8. Капкаева, Л.С. Теория и методика обучения математике: частная методика /Москва :Юрайт, 2017. - , 2017. - 263 с.
9. Киселев, А.П. Алгебра. - Москва :URSS: ЛЕНАНД-, 2017 -275 с.
10. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008 г. - 378 с.
11. Корчажкина О.М. Решение задач как вид мыслительной деятельности: общие методы/ О.М. Корчажкина // Математика в школе. 2018. - № 4.
12. Кузнецова Т.И. Всероссийский научно-методический семинар «Передовые идеи в преподавании математики в России и за рубежом» в 2017/2018 учебном году / Т.И. Кузнецова // Математика в школе. - 2018. № 6. -
13. Методика обучения математике. Формирование приемов математического мышления: учебное пособие для СПО / [Н.Ф. Талызина, Е.А. Буткин, И.А. Володарская и др.] ; под ред. Н. Ф. Талызиной. - Москва :Юрайт, 2018. - 192с.
14. Методическая разработка урока математики на I курсе по теме «Логарифм числа. Свойства логарифмов»: https://nsportal.ru
15. Методическая разработка учебного занятия по математике «Логарифмы и их свойства»: https://doc4web.ru
16. Мерзляк А.Г., Алгебра и начала математического анализа: 11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций ФГОС/ А.Г.Мерзляк, Д.А. Номировский и др.- Москва, 2017.- 286с.
17. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в двух частях. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. – Москва : Мнемозина, 2016. – 405 с.
18. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа учебник для 11 классов в двух частях. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович. – Москва :Мнемозина, 2017. – 148 с.
19. Мордкович А.Г. О некоторых методических вопросах, связанных с решением уравнений // Математика в школе. – 2016. – №3.
20. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа 11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – Москва: Просвещение, 2020.– 469 с.
21. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры / С.И. Новоселов. – Москва : Государственное издательство «Высшая школа», 2018. – 564 с.
22. Павлова Е. В. Структуризация учебной информации по математике / Е. В. Павлова // Инновации в образовании. - 2018. - № 8.
23. Пантаев, М.Ю. Математический гербарий абитуриента: алгебра во всем ее блеске и многообразии / М.Ю. Пантаев. - Москва :URSS: ЛЕНАНД, 2018.
24. Покровский, В.П. Методика обучения математике: функциональная содержательно-методическая линия / В. П. Покровский - Владимир : Изд-во ВлЕУ, 2014. - 143 с.
25. Современные образовательные технологии: монография. - Новосибирск : ЦРНС, 2016 - . Кн. 4 / [В.А. Даниленкова, Ю.В. Дулепова, Л.В. Зайцева и др.]. - 2016. - 223 с.
26. Темербекова, А.А. Методика обучения математике/ А.А. Темербекова, И.В. Чугунова, Е.А. Байгонакова. - Санкт-Петербург; Москва; Краснодар, Лань, 2015. - 510 с.
27. Тренеровочные вариант ЕГЭ по математике: https://alexlarin.net/trvar.html
28. Тумашева, О.В. Обучение математике с позиции системно-деятельного подхода: монография / О.В. Тумашева, О.В. Берсенева. - Красноярск : КГПУ им. В.П. Астафьева, 2016. - 279 с.
29. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования: утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 мая 2012 г. № 413 https://fgos.ru/fgos/fgos-soo/
30. Шабунин, М.И. Математика: пособие для поступающих в вузы / М.И. Шабунин. - Москва : Лаборатория знаний, 2017. - 744 с.
31. Штейнгарц Л.А.Тест «Логарифмы» / Л.А. Штейнгарц //Математика в школе. - 2018. - № 7. - С. 78-80
32. Яковенко И.В., Лисаченко О.А. Особенности методики построения системы задач для изучения темы «Логарифмы. Логарифмические уравнения»: https://cvberleninka.ru
33. Якубов А.В.Преподавание математики: зависимость результатов от профессионализма учителя и руководства школы/ Якубов А.В. //Математика в школе. - 2018. - № 5.

Весь текст будет доступен после покупки