Методика изучения натуральных чисел в школьном курсе математики

Введение 3
Глава 1. Теория натуральных чисел 5
§1. История развития понятия натурального числа в разных странах 5
§2. Аксиоматический подход 15
§3. Теоретико-множественный подход 22
§4. Признаки делимости. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. 32
Глава 2. Натуральные числа в школьном курсе математики 39
§1. Изучение натуральных чисел в начальной школе 39
§2. Изучение натуральных чисел в 5-6 классах 45
§3. Сравнительный анализ изучения темы «Натуральные числа» в школьных учебниках 52
Глава 3. Описание педагогического эксперемента и подобранных и разработанных материалав по теме “натуральные числа”. 60
§1. Разработка фрагмента программы математического кружка «За страницами учебника математики» для 5 класса. 60
§2. Методические рекомендации для вводного занятия математического кружка для 5 класса. 66
§3. Задачи, способствующие повышения уровня готовности учащихся в решении задач с натуральными числами. 70
Заключение 80
Список литературы 82
Приложение 84

Весь текст будет доступен после покупки

Актуальность темы. Интерес к изучению натуральных чисел возник у людей в глубокой древности. Натуральные числа применялись человеком всегда. Даже в древности, используя для счета пальцы или палочки, люди обращались к натуральным числам: считали, по порядку на единицу увеличивая исходное значение; ловили рыбу — один карась, второй, третий; продавали зерно — один мешок, второй, третий; делали пряжу — один клубок, второй, третий. Натуральное число — это число, которое применяется при счете. С его помощью можно определить количество любых предметов, их последовательность.
Уже много тысячелетий математики пытаются разгадать «загадку» натуральных, простых и составных чисел. До сих пор этот закон так и не найден. Натуральные числа имеют фундаментальное значение для математики. Каждое число может быть представлено уникальным способом в виде простых чисел, умноженных друг на друга. Это значит, что простые числа — это «атомы умножения», маленькие частички, из которых может быть построено что-то большое.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1. Теория натуральных чисел
§1. История развития понятия натурального числа в разных странах
Цифры в Древнем Египте
Первые написанные цифры, о которых мы имеем достоверные свидетельства, появились в Египте и Месопотамии около 5000 лет назад. Несмотря на то, что эти две культуры находились очень далеко друг от друга, их числовые системы очень похожи. Например, использование засечек на дереве или камне для записи прошедших дней. Египетские жрецы писали на папирусе, изготовленном из стеблей определенных сортов тростника, а в Месопотамии на мягкой глине.
В египетской системе цифрами являлись иероглифические символы; они обозначали числа 1, 10, 100 и т. д. до миллиона.

Рис. 1
Числа, не кратные 10, записывались путем повторения этих цифр. Каждая цифра могла повторяться от одного до 9 раз. Например, число 4622 обозначалось следующим образом:

Рис. 2
Фиксированного направления записи чисел не существовало: они могли записываться справа налево или слева направо и даже вертикально. Например, иероглифическая запись , и обратная запись тех же иероглифов, обозначали одно и то же число - «12».
Цифры племени майя
Весьма небезынтересная систем счета была у людей Майя, которые жили в Центральной Америке там, где сейчас государство Мексика. Европа еще считала по пальцам, когда математики древних майя ввели понятие нуля и оперировали бесконечно большими величинами.
Древние майя самостоятельно пришли к использованию позиционного принципа. В отличие от нас, европейцев, им не у кого было заимствовать этот принцип, и они сами додумались до него, причем почти на целое тысячелетие раньше Старого Света. Запись цифровых знаков, образующих число, майя вели вертикально, снизу вверх, как бы возводя некую этажерку из цифр.
Майя считали двадцатками – у них была двадцатеричная система счёта. Числа от 1 до 20 обозначались точками и чёрточками.
Цифры майя:

Рис. 3
Иногда для записи цифр от 1 до 19 также использовались изображения божеств. Такие цифры использовались крайне редко, сохранившись лишь на нескольких монументальных стелах.
Цифры Древней Греции
В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления - аттическая или геродианова и ионическая она же александрийская или алфавитная.
Аттическая система счисления использовалась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н.э. По существу, это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова "пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука "п", а не "г"). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ D, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X - 1000 (хилиои), символ M - 10000 (мириои или мириада).

Рис. 4
Вторая принятая в Древней Греции ионическая система счисления - алфавитная - получила широкое распространение в начале Александрийской эпохи, хотя возникнуть она могла несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у пифагорейцев. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. Сходство греческой буквы О с современным обозначением нуля может быть чем-то большим, чем случайное совпадение, но у нас нет точных данных, позволяющих утверждать это со всей определенностью.
Запись алфавитными символами могла делаться в любом порядке, так как число получалось как сумма значений отдельных букв.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Берман, Г.Н. Число и наука о нём. Общедоступные очерки. – Москва: Гос. издание технико-технической литературы, 1984. – 223 с.
2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. «Математика. 5 класс», издательство: Мнемозина 2017-2019 г. – 240 с.
3. Волкова Н.В. Новые технологии в обучении математике: учеб. пособие / Н.В. Волкова. – М.: Академия, 2017. – 256 с.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей., издательство: Просвещение 1982 г. – 192 с.
5. Доксиадис А. Дядя Петерсон и проблема Гольдбаха. Перевод с английского М. Левина 2002 г. – 240 с.
6. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. «Математика 5 класс. Часть 1», издательство: Ювента 2016г. – 128 с.
7. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. «Математика. 6 класс», издательство: Мнемозина, 2016 г. – 256 с.
8. Кореев А.А. «Познание чисел-«вмещением». Глобальный принцип Улама» 2007-2008 г. – 64 с.
9. Коновалова Т.В. Интерактивные технологии в обучении математике в начальной школе. – М.: Питер, 2018. – 208 с.
10. Крапеченко Е. Тайны чисел. Математика/ Приложение к газете «первое сентября» №13 2007 г. – 32 с.

Весь текст будет доступен после покупки