Методы решения рекуррентных соотношений

ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ 6
1.1 Понятие рекуррентного соотношений 6
1.2 Методы решения рекуррентных соотношений 16
1.3 Однородные линейные рекуррентные соотношения 23
Выводы по главе 1 33
ГЛАВА 2. Примеры решения рекуррентных соотношений 34
2.1 Решение рекуррентных соотношений методом производящих функций 34
2.2 Решение неоднородных рекуррентных соотношений 37
2.3 Решение практических задач (из школьного курса математики) 43
Выводы по главе 2 47
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 51

Весь текст будет доступен после покупки

Актуальность исследования определяет то, что рекуррентные соотношения изучаются в различных разделах математики, в том числе и прикладной: теории сложности алгоритмов, вычислительных методах и теории вероятностей, комбинаторике, и тем не менее, еще есть вопросы, которые требуют более детального изучения, что немаловажно для дальнейшего использования в науке и работе преподавателей. В современном мире наблюдается растущая потребность в эффективных методах решения рекуррентных соотношений. Это связано с рядом факторов:
? Увеличение сложности систем: системы, с которыми мы сталкиваемся сегодня, становятся все более сложными, что приводит к необходимости моделирования их с помощью более сложных рекуррентных соотношений;
? Рост вычислительной мощности: развитие вычислительной техники позволяет решать более крупные и сложные рекуррентные соотношения в разумные сроки;
? Появление новых приложений: рекуррентные соотношения находят применение в новых областях, таких как анализ больших данных, машинное обучение и искусственный интеллект.
В результате многочисленных исследований и практических трудов специалистов было доказано, что не существует определенно одного метода, который позволяет решать все рекуррентные соотношения. Однако, учеными были найдены несколько методов, которые позволяют решать ряд рекуррентных соотношений.

Весь текст будет доступен после покупки

ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ
1.1 Понятие рекуррентного соотношения
В математике широко используются термины, такие как «рекурсивные функции», «рекуррентные последовательности», «рекуррентные соотношения», «рекурсивные алгоритмы». Все эти термины имеют общий корень, происходящий от латинского слова «recurro» – «возвращаться». Общая черта для всех этих понятий заключается в том, что для вычисления следующего значения функции, выполнения следующего шага алгоритма или определения следующего члена последовательности необходимо обращаться к ранее вычисленным значениям. Эти предыдущие значения, в свою очередь, требуют обращения к еще более ранним значениям и так далее. Таким образом, для получения значения функции, выполнения алгоритма или определения члена последовательности на определенном шаге необходимо знать их значения на n-ом шаге, и, следовательно, на (n-1)-ом шаге. Проявление рекуррентных соотношений встречается в школьном курсе математики при изучении прогрессий, при определении различных понятий, при построении математических объектов, при знакомстве с некоторыми математическими фактами, а также проявляются в отдельных математических методах (метод математической индукции).[31, с. 84]
Рекуррентное соотношение – это математическое правило, которое определяет способ вычисления следующего значения функции или члена последовательности на основе известных значений на предыдущих шагах. Разработка рекуррентных соотношений является важным методом решения различных задач, и она находит широкое применение в комбинаторике, а также в других областях математики и информатики.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Абакумова С.И., Руденко В.Г., Стригун Н.С. Перестройка решений рекуррентного мультипликативного уравнения второго порядка // Фундаментальные исследования. 2014. № 9-7. С. 1483-1488. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://s.fundamental-research.ru/pdf/2014/9-7/35088.pdf
2. Алексеева Н.Н. Рекуррентные соотношения // Юность большой Волги: сб. Чебоксары: "Центр молодежных инициатив" Министерства образования и молодежной политики Чувашской Республики, 2016. С. 11-14. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://disk.yandex.ru/i/kJ7Y3teC9pRLWA
3. Аптекарев А.И., Туляков Д.Н. Асимптотический базис решений q-рекуррентных соотношений вне зоны близких собственных значений // Препринты Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. 2018. № 159. С. 1-26. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=ipmp&paperid=2518&what=fullt
4. Аптекарев А.И., Туляков Д.Н. Главный член асимптотики Планшереля–Ротаха для решений рекуррентных соотношений // Математический сборник. 2014. Т. 205. № 12. С. 17-40. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=sm&paperid=8416&what=fullteng
5. Виленкин Н.Я. Комбинаторика – Москва: Наука, 1969 — 328 c.
6. Биксалин А.И. Метод рекуррентных соотношений // Новые компетенции цифровой реальности: теория и практика их развития у обучающихся. 2022. с. 35-42.
7. Бурчакова Т.Л., Довгаль В.А. Решение одной системы линейных рекуррентных соотношений первого порядка // Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук. 2020. С. 35-40.
8. Быкова В.В. Асимптотические свойства решений специального типа рекуррентных соотношений // Омский научный вестник. 2011. № 1. С. 153-157. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/asimptoticheskie-svoystva-resheniy-spetsialnogo-tipa-rekurrentnyh-sootnosheniy
9. Быкова В.В. Математические методы анализа рекурсивных алгоритмов // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. 2008. Т. 1. № 3. С. 236-246. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskie-metody-analiza-rekursivnyh-algoritmov
10. Быкова В.В. Об асимптотике решений рекуррентных соотношений специального вида и технике Кульмана—Люкхардта // Прикладная дискретная математика. 2013. № 4. С. 56-66. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/ob-asimptotike-resheniy-rekurrentnyh-sootnosheniy-spetsialnogo-vida-i-tehnike-kulmana-lyukhardta
11. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.Л. Сборник задач по дискретной математике, М. 1992.

Весь текст будет доступен после покупки