Основные методы решения тригонометрических уравнений.

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………..3
Глава 1. Основные понятия ………………………………………………..... 5
Глава 2. Решение тригонометрических уравнений с использованием различных методов …………………………………………………………. 13
§1. Элементарные тригонометрические уравнения ……………………13
§2. Введение вспомогательного аргумента ……………………………..15
§3. Схема решения тригонометрических уравнений …………………..15
§4. Преобразование и объединение групп общих решений
тригонометрических уравнений ……………………………………...….18
§5. Разложение на множители ……………………………………………20
§6. Равенство одноименных тригонометрических функций …………...24
§7. Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим ……..27
§8. Использование ограниченности функций …………………………...35
§9. Функциональные методы решения тригонометрических и
комбинированных уравнений ……………………………………………39
§10. Метод симметрии …………………………………………………….42
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………….47
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………………….48

Весь текст будет доступен после покупки

Тригонометрические уравнения являются одним из важных элементов в математике, которые применяются в различных областях науки и техники. Их решение представляет собой не только теоретически важную задачу, но и практическую необходимость для многих инженерных и физических задач. Основные методы решения тригонометрических уравнений включают в себя использование тригонометрических тождеств, метод замены переменной, графический метод, а также метод Фурье. В данной работе мы рассмотрим каждый из этих методов, определим их особенности и сравним их эффективность в зависимости от условий задачи.
Данная дипломная работа посвящена основным методам решения тригонометрических уравнений.
Актуальность темы исследования заключается в широкой распространенности тригонометрических уравнений. Они занимают одно из центральных мест в курсе математики, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.

Весь текст будет доступен после покупки

Глава 1. Основные понятия
Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников».
Тригонометрические уравнения – это уравнения, в которых присутствуют функции синуса, косинуса, тангенса или котангенса от неизвестной переменной. Решение таких уравнений требует от математика знания основных понятий тригонометрии и умения применять различные методы решения уравнений. В данной статье мы рассмотрим основные понятия тригонометрических уравнений.
При решении многих математических задач, порядок выполняемых действий, которые приведут к цели, определен однозначно. К таким задачам можно отнести, например, линейные и квадратные уравнения, линейные и квадратные неравенства, дробные уравнения и уравнения, которые сводятся к квадратным. Принцип успешного решения каждой из упомянутых задач заключается в следующем: надо установить, к какому типу относится решаемая задача, вспомнить необходимую последовательность действий, которые приведут к нужному результату, т.е. ответу и выполнить эти действия.
Иная ситуация получается с тригонометрическими уравнениями. Установить факт того, что уравнение является тригонометрическим, совсем нетрудно. Сложности появляются при определении последовательности действий, которые бы привели к правильному ответу.
При решении тригонометрических уравнений важно учитывать особенности функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также знать основные тождества тригонометрии и формулы приведения, которые позволяют сводить сложные тригонометрические выражения к более простым видам. В частности, формулы приведения позволяют выразить синус и косинус угла в терминах синуса, косинуса или тангенса угла, что упрощает решение тригонометрических уравнений. Необходимость классификации уравнений и неравенств вызывается невозможностью найти общий метод их решения. Очевидно, что классифицировать тригонометрические уравнения и неравенства имеет смысл с опорой на методы их решения. основные понятия тригонометрических уравнений представляют собой важную часть математического аппарата и находят широкое применение в физике, геометрии, технике и других областях знания. Разбор тригонометрических уравнений позволяет математику более глубоко понимать законы природы и решать сложные задачи, связанные с проектированием различных устройств и систем. Мы будем рассматривать типы уравнений и неравенств в той последовательности, которая представляется нам наиболее приемлемой для обучения школьников, то есть в последовательности, построенной в соответствии с принципом « от простого к сложному».
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух
этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см.
выше) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

2?cos??(x+?/6)??^2 -3 cos??(x+?/6)+1=0,?
делаем замену: cos ( x+?/6)=y,тогда 2y^2-3y+1=0,
находим корни:y_1= 1,? y?_2 = 1/2 , откуда следует два случая:

cos??( x+?/6)=1,? 2) cos??( x+?/6)=1/2?,

x+ ?/6=2?k, x+ ?/6=±arccos?(1/2)+2?n,

x_1=-?/6+2?k, x_2=±?/3-?/6+2?n,

2.Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Азаров А.И., Уравнения / Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. – Мн.: Тривиум, 1994.
2. Азаров А.И., Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач / Азаров А.И., Барвенов С.А., - Мн.: Аверсэв, 2004.
3. Бардушкин В., Тригонометрические уравнения. Отбор корней / В. Бардушкин, А. Прокофьев // Математика, №12, 2005 с. 23-27.
4. Бородин П., Тригонометрия. Материалы вступительных экзаменов в МГУ /
П. Бородин, В. Галкин, В. Панферов, И. Сергеев, В. Тарасов // Математика №1, 2005 с. 36-48.
5. Василевский А.Б., Задания для внеклассной работы по математике / Василевский А.Б. – Мн.: Народная асвета, 1988. – 176с.
6. Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике / Выгодский Я.Я. – М.: Наука, 1970.

Весь текст будет доступен после покупки