Решение интегральных уравнений с помощью интегральных преобразований

Введение 3
Глава 1. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа. 5
§1.1. Преобразование Фурье. 5
§1.2. Основные свойства преобразования Фурье 14
§1.3.Решение задач 14
§1.4. Преобразование Лапласа 18
§1.5. Основные свойства преобразования Лапласа 29
§1.6. Решение интегро-дифференциальных уравнений 31
Глава 2. Другие интегральные преобразования. 36
§2.1. Преобразование Меллина 36
§2.2. Метод Винера-Хопфа 40
Приложение 50
Заключение 51
Список литературы 52

Весь текст будет доступен после покупки

Интегральные уравнения являются одним из основных объектов математических исследований и применений, включая многие области физики, биологии, экономики и техники. Интегральные уравнения имеют множество форм и различные методы решения, включая методы численного интегрирования, методы вычисления функций Грина, методы коэффициентов передачи и интегральные преобразования.
Одним из самых мощных методов решения интегральных уравнений является использование интегральных преобразований. Интегральные преобразования позволяют свести интегральные уравнения к простым алгебраическим уравнениям или обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Существует множество различных интегральных преобразований, которые могут быть использованы для решения интегральных уравнений. Некоторые из наиболее популярных интегральных преобразований включают преобразование Лапласа, преобразование Фурье, преобразование Меллина и преобразование Винера – Хопфа.
Преобразование Лапласа является одним из наиболее широко используемых интегральных преобразований и применяется для решения широкого класса интегральных уравнений. Преобразование Лапласа может быть использовано для связи между исходным интегральным уравнением и преобразованным уравнением, которое легче решить.

Весь текст будет доступен после покупки

§1.1. Преобразование Фурье.
Интегральное преобразование Фурье является одним из самых основных инструментов анализа и математического моделирования. Одним из основных способов применения интегрального преобразования Фурье заключается в использовании его для решения интегральных уравнений.
Известно, что если функция f(t) удовлетворяет условию Дирихле на любом конечном отрезке оси t и абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е.
?_(-?)^(+?)-?|f(t)|dt? то для нее справедливо равенство
f(t)=1/? ?_0^(+?)-?d??_(-?)^(+?)-?f(?)cos ?(t-?)d??? (1.1)
При этом во всякой точке t_0, являющейся точкой разрыва 1-го рода функции f(t), значение интеграла в правой части (1.1) будет равно 1/2[f (t_0-0)+f(t_0+0)].
Формулу (1.1) называют интегральной формулой Фурье, а идущий в ее правой части интеграл – интегралом Фурье. От формулы (1.1) нетрудно перейти к комплексной форме интеграла Фурье
f(t)=1/2? ?_0^(+?)-?e^(-i?t) d??_(-?)^(+?)-?f(?)e^(-i?t) d??? (1.2)
Пусть функция f(t) удовлетворяет сформулированным выше условиям. Функция
F(?)=1/v2? ?_(-?)^(+?)-?f(t) e^(-i?t) dt? (1.3)
(или F(?)=1/v2? ?_(-?)^(+?)-?f(t) e^i?t dt?)
называется преобразованием Фурье функции f(t) или спектральной функцией.
В силу формулы (1.2) имеем
f(t)=1/v2? ?_(-?)^(+?)-?F(?) e^i?t d?? (1.4)
(соответственно f(t)=1/v2? ?_(-?)^(+?)-?F(?) e^(-i?t) d??).
Это так называемое обратное преобразование Фурье.
Важную роль в использовании преобразования Фурье к решению играет теорема о свертке. Пусть F_1 (?) и F_2 (?) – преобразования Фурье функций f_1 (t) и f_2 (t). Тогда
F_1 (?) F_2 (?)=1/v2? ?_(-?)^(+?)-?f_1 (t) e^(-i?t) dt? 1/v2? ?_(-?)^(+?)-?f_2 (?) e^(-i??) d??=
=1/2? ?_(-?)^(+?)-?f_1 (t) f_2 (?)e^(-i?(t+?)) dtd??.
причем двойной интеграл в правой части сходится абсолютно. Сделаем замену переменной t+?=?, так что ?=? - t. Тогда будем иметь
F_1 (?) F_2 (?)=1/v2? ?_(-?)^(+?)-?f_1 (t){?_(-?)^(+?)-?f_2 (?-t) e^(-i?t) d??} ? dt=
=1/v2? 1/v2? ?_(-?)^(+?)-?e^(-i?t) {?_(-?)^(+?)-?f_1 (t)f_2 (?-t)dt?}d?? (1.5)
(В силу теоремы Фубини перемена порядка интегрирования законна.)
Функция
?(?)=?_(-?)^(+?)-?f_1 (t)f_2 (?-t)dt?
называется сверткой функций f_1 (t) и f_2 (t) и обозначается f_1 (t)?* f?_2 (t)
Формула (1.5) может быть записана теперь так:
1/v2? ?_(-?)^(+?)-??(?)e^(-i??) d??=v2? F_1 (?) F_2 (?)
откуда видно, что преобразование Фурье свертки функции f_1 (t) и f_2 (t) равно умноженному на v2? произведению преобразований Фурье свертываемых функций:
F?(f?_1 ?* f?_2)=v2? ?Ff?_1 Ff_2
где символом F g обозначается преобразование Фурье функции g(t).
Операция свертки коммутативна f_1 ?* f?_2=f_2 ?* f?_1. Действительно, производя замену переменной ?-t=z получаем
f_1 ?* f?_2=?_(-?)^(+?)-?f_1 (t)f_2 (?-t)dt?=-?_(-?)^(+?)-?f_2 (z)f_1 (?-z)dz?=?_(-?)^(+?)-?f_2 (z)f_1 (?-z)dz?=f_2 ?* f?_1
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма на оси (-??(t)=??_(-?)^(+?)-?K(t-s) ?(s) ds? +f(t) (1.6)
(в предположении, что все участвующие функции абсолютно интегрируемы на всей оси).
Формальное решение можно получить следующим образом. Применив к обеим частям (1.6) преобразование Фурье и используя теорему о свертке функций, получим

Весь текст будет доступен после покупки

1. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М: Наука 1975. – 302 с.
2. Колмогоров А. Н. Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1989. – 624 с.
3. Меджидов З. Г. Методические указания и задачи по курсу «Интегральные уравнения». Махачкала: ИПЦ ДГУ. 1999. – 64 с.

Весь текст будет доступен после покупки