Теоремы Симпсона и Птолемея для вписанного четырехугольника

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Теоретическая часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Практическая часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Весь текст будет доступен после покупки

Данная работа посвящена изучению теоремы Симпсона и Птолемея для вписанного четырехугольника. В школе недостаточно времени для изучения многих тем по геометрии. Необходимо восполнять пробелы. Ставится цель изложить определения и теоремы в понятной форме для школьников, чтобы каждый ученик мог в короткий срок научиться применять теоретический материал в практических задачах.

Задачами данной курсовой работы являются:
1) познакомиться с биографией Клавдия Птолемея;
2) ввести основные понятия и критерии вписанного четырехугольника;
3) изучить теоремы о вписанном четырехугольнике;
4) изучить теоремы Симпсона и Птолемея для вписанного четырехугольника;
5) прорешать различные задачи, связанные с теоремами Симпсона и Птолемея.
Объект курсовой работы: теоремы Симпсона и Птолемея в геометрии.
Предмет курсовой работы: применение теоремы Симпсона и Птолемея для решения задач.

Весь текст будет доступен после покупки

Теоретическая часть
Клавдий Птолемей был математиком, астрономом, астрологом, географом и теоретиком музыки. Он написала около дюжины научных трактатов, первый был его астрономический трактат теперь известный как «Альмагеста», но изначально озаглавленном математический трактат.
Исходя из тоеремы о произведении диагоналей вписанного в круг четырехугольника, Клавдий Птолемй определил хорды дуг в 1?1/2?^°и ?3/4?^° и приближенно вычислил по ним хорду дуги в 1^°. Также он составил таблицу хорд, соответсвующим дугам от 0^° до 180^°, ввел деление градуса на минуты и секунды.

Определение 1.
Вписанный чтырехугольник – это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Критерий вписанного четырехугольника.
Если серединные перпендикуляры к трем сторонам четырехугольника перескаются в одной точке, то около него можно описать окружность. (рис. 1)




Рис. 1

Теорема 1.
Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равняется 180°, то около чветырехугольника можно описать окружность.

Теорема Симсона .
Для того, чтобы четыре точки принадлежали однои? окружности, необходимо и достаточно, чтобы ортогональные проекции однои? из них на три прямые, определяемые тремя остальными точками, были коллинеарны. Прямая, на которои? лежат эти проекции, называется прямои? Симсона точки окружности, описаннои? около треугольника.
Докажем необходимость указанного в теореме условия сущестования описанной около четырехугольника ABCD окружности. ? четыреухугольник ABCD вписан. Ортогональными проекциями вершины D на прямые BC, CA и AB являются точки A_1,B_1,C_1 (рис.2).Можем увидеть, что отрезок СD из точек A_1 и B_1 виден под углом в 90°, значит CD – это диаметр вписанного четырехугольника A_1 CB_1 D. Если рассмотреть четырехугольник AC_1 B_1 D , то по аналогии четырехугольника ABCD, он будет вписан в окружность с диаметром AD. Из этого мы можем сделать вывод в виде равенства вписанных углов: ?CDA_1 = ?A_1 B_1C и ?ADC_1 = ?AB_1 C_1. ?DAC_1+?BCD=180°, ?DCA_1+?BCD=180°, следовательно ?DAC_1 = ?DCA_1. Так как ?DAC_1 = ?DCA_1, то ?ADC_1=?C?DA?_1 . В результате имеем равенство углов A_1 B_1C и AB_1 C_1, означающее коллинеарность точек A_1,B_1,C_1, ибо точки A, B_1, C коллинеарны.
Достаточность. ? точки A_1,B_1,C_1 коллинеарны. Построим окружность с диаметром AD, содержащую точки B_1 и C_1, вторую окружность с диаметром CD, содержащую точки A_1 и B_1. ?AB_1 C_1=?A_1 B_1C – как вертикальны. Из последнего равенства следует, что ?ADC_1= ?CDA_1, а занчит ?DAC_1= ?DCA_1. Следовательно, ?DAB + ?DCB = 180° и, значит, четырехугольник ABCD вписан в окружность.






Рис.2

Теорема Птолемея .
Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведении? его противоположных сторон равнялась произведению диагоналеи?.
Данную теорему можно получить как следствие теоремы Симсона. . ?вокруг четырехугольника ABCD описана окружность. Используя теорему симсонов и окружность, имеющую диаметр CD получим: A_1 B_1= CDsin?A_1 CB_1=CDsin?BCA (рис. 2). Рассмотрев треугольник ABC, по теореме синусов имеем: AB=2Rsin?BCA.
Поэтому:
A_1 B_1=(AB•CD)/2R .
Аналогично
B_1 C_1=(BC•AD)/2R,C_1 A_1=(CA•BD)/2R (1.1)
Так как точки A_1,B_1,C_1 коллинеарны и A_1 B_1+B_1 C_1=A_1 C_1, (1.2)
то (AB•CD)/2R+(BC•AD)/2R=(CA•BD)/2R
или
AB•CD+BC•AD=CA•BD. (1.3)
Здесь использован факт того, что между точками A_1 и C_1 лежит точка B_1. Данный факт всегда имеет место при расположении точек на окружности в последовательности: A, B, C, D.
Обратно, если равенство (1.3) выполнено, то точка D лежит на окружности, описанной около треугольника ABC. И вправду, для любой точки D плоскости и ее ортогональных проекций A_1,B_1,C_1 на прямые BC, CA и AB соответсвенно имеет равенство (1.1), в силу которых (1.3) принимает вид:
A_1 B_1•2R+B_1 C_1•2R=A_1 C_1•2R, откуда A_1 B_1+B_1 C_1=A_1 C_1. Это означает, что точки A_1,B_1,C_1 коллинеарны. По достаточному условию теоремы Симсона точка D лежит на окружности ABC.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Я.П. Понарин. Элементарная геометрия. Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости. Москва, Издательство МЦНМО, 2004.
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Клавдий_Птолемей
3. https://bigenc.ru/c/klavdii-ptolemei-ac0990?ysclid=lwq6pju8is96912783
4. https://math-ege.sdamgia.ru/search?keywords=1&cb=1&search=Теорема%20Птолемея&ysclid=lwq6qcczfl856479550

Весь текст будет доступен после покупки