Методические аспекты изучения комплексных чисел в старшей школе

ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА» В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 6
1.1 История возникновения и развития комплексных чисел в математике 6
1.2 Различные подходы к ведению понятия комплексного числа в школьном курсе математики 9
1.3 Изучение темы «Комплексные числа» в школьном курсе математики 14
1.4 Представление темы «Комплексные числа» в школьных учебниках 20
1.5 Методические особенности изучения темы «Комплексные числа» в курсе математики 27
ГЛАВА 2. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ» 36
2.1 Программа элективного курса «Применение комплексных чисел» 36
2.2 Методические рекомендации по проведению занятий элективного курса «Применение комплексных чисел» 42
2.3 Проекты занятий по элективному курсу «Применение комплексных чисел» 47
2.4 Апробация результатов 71
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 74
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 75

Весь текст будет доступен после покупки

Настоящая тенденция развития общества вызывает необходимость у гражданина со средним общим образованием иметь достаточно широкие и глубокие математические знания. Это обусловлено тем, что бывший уче-ник переходит в новый цикл своего развития – овладение будущей про-фессией. Как известно, освоение фактически любой специальности требует явных математических умений и знаний. Поэтому Федеральный государ-ственный образовательный стандарт среднего общего образования (ФГОС СОО) выделяет одну из основных задач в обучении математике в средней школе – это дать прочное и осмысленное овладение комплекса математи-ческих умений и знаний, которые необходимы каждому человеку не толь-ко в повседневной жизни, но и в его профессиональной деятельности [38].
Формирование и развитие математического мышления обучающихся – еще одна основная задача ФГОС СОО [38]. Педагог, решая данную за-дачу, порождает у обучающихся мотивацию к развитию математических способностей, стремление к творческой и исследовательской деятельности не только в математике, но и в других предметных областях.
Изучение в школе математики, помимо решения прочих основных задач, которые раскрывает ФГОС СОО, способствует формированию устойчивого интереса у учащихся к предмету, ориентации на специально-сти, с которыми связана математика, обеспечивает подготовку к дальней-шему обучению в высшей школе.

Весь текст будет доступен после покупки

История возникновения и развития комплексных чисел в математике

С начала XVI века [1] началось детальное изучение кубических уравнений, что стало отправной точкой для истории комплексных чисел. Итальянский ученый Дж. Кардано ввёл общую формулу для решения кубического уравнения x^3+px+q=0:

Это стало вызовом для математиков, поскольку не ясно было, как получить действительные корни, используя операции, которые не могут быть выполнены с отрицательными числами. В 1545 году Дж.Кардано предложил решение этой проблемы, создав числа нового типа и показав, что система уравнений

не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида

нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что

Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение.
В начале новые числа вызвали недоверие у математиков, которые считали полученные с их помощью результаты не достаточно надежными и требующими дополнительных доказательств. Тем не менее, исследования чисел продолжились, и в 1572 году математик Р. Бомбелли предложил использование мнимых чисел для решения кубических уравнений и установил правила для сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел [33].
Многие другие выдающиеся ученые XVII века также подвергали сомнению природу и законность существования мнимых величин. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы» [12]. Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты.
Отношение к мнимым величинам изменилось фундаментальным образом после публикации работы Ж. Даламбера «Опыт новой теории сопротивления жидкостей» (1752), где было представлено уравнение в виде действительной и мнимой частей комплексной функции переменной [12]. Эта работа первой содержала условия Коши-Римана для аналитической функции. Таким образом, задачи механики сыграли важную роль в алгебраическом понимании векторов, которые стали широко используемыми после XVI века для представления физических величин, таких как сила и скорость, которые характеризуются не только значением, но и направлением.
Комплексные числа впервые были представлены в виде векторов на плоскости в работе К. Весселя «Опыт об аналитическом представлении направления и попытка его применения, преимущественно к решению плоских и сферических треугольников» (1799) [1]. Кроме того, К. Вессель предложил идею векторов в пространстве и попытался разработать метод умножения этих векторов. Эта работа считается важной, так как предоставила ясное и понятное геометрическое объяснение для действий над комплексными числами.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Авдеева А. А., Росляков И. Н., Рослякова Л. И. История возникнове-ния комплексных чисел и их влияние на развитие математики. – Курск: Юго-Зап. гос. ун-т., ЗАО «Университетская книга», 2016. – с. 259.
2. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачёва М. В. Алгебра: начала мате-матического анализа 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват. орга-низаций: базовый и углуб. уровни. – М.: Просвещение, 2022.
3. Андронов И. К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975 г.
4. Антипова Н. В. Сборник примерных рабочих программ. Элективные курсы для профильной школы : учеб. пособие для общеобразоват. Организаций. – М.: Просвещение, 2019. — с. 187.
5. Балк М. Б. Реальные применения мнимых чисел. – К.: Рад. шк., 1988. – с. 255.
6. Боженов Л. И. Введение понятия комплексных чисел при обучении учащихся классов естественно-математического профиля курсу ал-гебры и началам математического анализа // Проблемы и перспекти-вы физико-математического и технического образования, 2014. – с. 84-95.
7. Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. – Мн.: Выш. школа, 1979. – с. 368.
8. Бурмистова Т. А. Алгебра и начала математического анализа. Сбор-ник рабочих программ. 10–11 классы: учеб. пособие для общеобра-зоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – М.: Просвещение, 2018. — с. 143.

Весь текст будет доступен после покупки