Методика изучения уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математики

Введение 7
ГЛАВА I. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ 9
§ 1. Основные понятия и определения 9
§2. Аналитический метод решения уравнений и неравенств с параметрами 11
§3. Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами 13
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ. 18
§1. Уравнения и неравенства с параметрами, представленные в заданиях для итоговой аттестации школьников и методы их решения 18
§2. Сравнительный анализ учебников на предмет наличия в них уравнений и неравенств с параметрами 32
§3. Диагностика уровня сформированности школьников решать задачи с параметром. 48
§4. Анализ результатов решения задач с параметром в ЕГЭ за 2019-2022 гг. 50
§5. Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами». 51
Заключение 56
Список литературы 57

Весь текст будет доступен после покупки

Задачи с параметрами обладают огромной значимостью в формировании логического мышления, исследовательских умений, математической культуры школьников. Умение решать задачи с параметрами позволяет проверить настоящие знания ученика, а не его натренированность в процессе решения однотипных задач.
Для учащихся их решение считается затруднительным, потому что изучение задач с параметрами не является отдельной составляющей в школьном курсе математики. Детальное, наиболее глубокое изучение задач с параметрами осуществляется преимущественно на факультативных занятиях по математике. Они дают возможность в полном объеме освоить курс алгебры и геометрии, а также способствует успешной сдаче единого государственного экзамена по профильной математике.
Актуальность исследования. Задания с параметрами нередко встречаются в олимпиадных заданиях и в итоговой аттестации школьников по математике. Согласно статистике, многие из учащихся не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% школьников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: около 3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, обучающимися школ по-прежнему остается актуальным. Для решения этой проблемы на уроках и факультативных занятиях по математике учащимися должны быть отработаны умения решать задачи с параметрами.

Весь текст будет доступен после покупки

Рассмотрим уравнение
f (a, b, c, …, k, x) =? (a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k, x-переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений a, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. а? А, b? B, …, x? X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным. [1]
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения (1) считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры. [1]
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
Они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
Каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
Неравенство
f (a, b, c, …, k, x)> ?(a, b, c, …, k, x), (2)
где a, b, c, …, k, x-параметры, а х - действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры. [1]
Решить неравенство (2) - значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Выделяют три основных типа задания с параметром.
Найти корни уравнения или неравенства при всевозможных значениях параметра.
Найти такие значения параметра, при которых корни уравнения или неравенства удовлетворяют определенному условию. Это может быть количество корней, их расположение относительно заданных чисел и прочее.
Найти при каких значениях параметра уравнение имеет определенное количество корней
Задания первого типа удобно решать аналитическим методом. Идея метода следующая: поскольку параметр считаем заданным числом, то решаем задачу по алгоритму, соответствующему данному типу уравнения: линейному, квадратному, иррациональному, тригонометрическому и т. д. При этом на каждом шаге алгоритма обращаем внимание на особенности: возможное деление на ноль, смену знака неравенства, извлечение корней, раскрытие модуля и т. п. Значения параметра, при которых возникают эти особенности, рассматриваются отдельно.
Задания второго типа удобнее решать графически. Так как графики дают наглядное представление о количестве и расположении корней уравнения или неравенства.
Задания третьего типа могут быть решены как аналитическим, так и функционально-графическим методом.
В процессе решения задания метод решения может быть изменен на более рациональный.
Рассмотрим описанные методы решения уравнений и неравенств с параметром.
§2. Аналитический метод решения уравнений и неравенств с параметрами
Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры
нахождения ответа в задачах без параметра.
Решение заданий аналитическим методом можно выполнить, опираясь на представленную последовательность шагов:
Написать ОДЗ уравнения.
Найти корни уравнения.
Подставить корни в ОДЗ.
Начертить ось параметров и отметить на ней промежутки существования корней в соответствии с ОДЗ.
Посмотреть условия совпадения корней.
Записать ответ.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М.: Просвещение, 1972.-128 с.
2. Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В 2 ч. Ч. 1 / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. — 15-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2019. — 288 с.: ил.
3. Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В 2 ч. Ч. 2 / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. — 11-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2019. — 231 с.: ил.
4. Алгебра. 8 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В 2 ч. Ч. 1 / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. — 15-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2019. — 288 с.: ил.
5. Алгебра. 8 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В 2 ч. Ч. 2 / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. — 16-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2019. — 351 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В 2 ч. Ч. 1 / [А. Г. Мордкович и др.]. — 13-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2019. — 288 с.: ил.
7. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В 2 ч. Ч. 2 / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. — 13-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2019. —287 с.: ил.
8. Алгебра. 7 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2013. — 256 с.: ил. —ISBN 978-5-09-018967-5.
9. Алгебра. 8 класс : учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2013. — 287 с.: ил. —ISBN 978-5-09-022881-7.

Весь текст будет доступен после покупки