Обучение решению комбинаторных задач средствами УМК «ШКОЛА РОССИИ»

Введение………………………………………………………………….3

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ПРАКТИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ УМК «ШКОЛА России»
1.1. Методико-математические основы обучения младших школьников решению комбинаторных задач……………………………………………….7
1.2. Анализ программ и учебников УМК «Школа России»……………21

ГЛАВА II. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ УМК «ШКОЛА РОССИИ»
2.1. Основные положения методики обучения решению комбинаторных задач в начальном курсе математики………………………………………...30
2.2. Приемы, методы и средства обучения решению комбинаторных задач средствами УМК «Школа России»……………………………………45
2.3. Организация и результаты обучающего эксперимента………....53

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………61
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………..……62

Весь текст будет доступен после покупки

ФГОС второго поколения начального общего образования (НОО) определяет новые требования к уровню подготовки младших школьников. Перед современной школой поставлена задача воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные, учитывая различные условия и конкретные ситуации.
В свете этих требований изменяется приоритет математического образования, которое на современном этапе рассматривается как процесс становления личности, его познавательных и созидательных возможностей посредством овладения им основами математических знаний.
Одним из направлений модернизации содержания математического образования на современном этапе является включение элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в программу школьного курса математики. В новом проекте концепции образовательной области «Математика» Министерства образования и науки РФ в разделе «Общая характеристика математического образования» отмечается, «что элементы статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение» [36]. При изучении этого материала обогащаются представления учащихся о современной картине мира и методах его исследования.
Возможность включения комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики была обоснована в ряде методических исследований методистов-математиков 70-80 годов прошлого столетия [14, 15, 21, 26] В них рассматриваются различные аспекты этой проблемы: совместное изучение элементов комбинаторики и теории вероятностей; выделения в школьном курсе математики сквозной комбинаторико-вероятностной линии; изучение комбинаторики с помощью графов; разработка методики обучения решению комбинаторных задач. Названные исследования в основном ориентировались на учащихся основной и средней школы, тем не менее, во всех работах отмечалась целесообразность пропедевтики решения комбинаторных задач в начальной школе.

Весь текст будет доступен после покупки

Проблема включения задач комбинаторного характера в школьный курс математики была предметом дискуссий начиная с середины 60-х годов прошлого столетия. Это обусловливалось тем, что на смену концепции строгого детерминизма в различных областях научного знания пришли закономерности случайных явлений. В связи с этим по новому начали трактовать различные законы физики, астрономии, химии, биологии, и т.д.
Современное естествознание исходит из представления, согласно которому все явления природы обычно носят статистический характер и ее законы могут получить достаточно полную и точную формулировку только в терминах теории вероятностей и комбинаторики.
Звездная астрономия, исследования распределения материи в пространстве, распределении во времени и на поверхности Солнца солнечных пятен (центров солнечной активности) и многое другое нуждается в систематическом использовании статистических представлений и разнообразного математического аппарата комбинаторики теории вероятностей.
Еще со времен А. Кетли биологи заметили, что разброс размеров органов живых существ одного и того же вида прекрасно укладывается в общие теорико-вероятностные закономерности. Знаменитые законы Менделя, положившие начало современной генетике, требуют для своего осмысливания теорио-вероятностных рассуждений. Попытки игнорирования этих представлений приводили к искажению природы и отказу от естественного и правильного объяснения результатов опытов.
Понимание природы химических реакций, динамического равновесия невозможно без статистических и вероятностных представлений. Почти вся физическая химия, ее математический аппарат исходит не из феноменологических представлений о материи как сплошной среде, а из ее молекулярного, атомного и субатомного строения.
Учет статистических закономерностей необходим и при изучении повторяемости слов и букв, распределении ударений в словах, вычислении информативности языка конкретных писателей и поэтов.
Экономика также не остается в стороне от глубоких и всесторонних статистических исследований. Вопросы перспективного планирования производства самым непосредственным образом связаны со случайными изменениями массового спроса. Для того чтобы эти изменения предусмотреть, нужно научиться на опыте прошлого, предвидеть будущее. Чтобы выяснить, как увеличить доходы государства и одновременно поднять жизненный уровень граждан, необходимо тщательно проанализировать огромный статистический материал и из него сделать правильные выводы.
В связи с вышесказанным, формирование представлений о статистических концепциях является одной из задач общего образования.
Анализ зарубежного опыта свидетельствует о том, что эта задача может успешно решаться [1,2,3].
Так, во французских школах большое значение уделяется изучению теории вероятностей, статистики и комбинаторики, которая не содержит ни формальной теории, ни технически сложных задач. Все понятия в этом курсе вводятся естественным образом при рассмотрении соответствующих примеров из реальной жизни, а не с помощью формальных определений, т.е. преподавание ведется на доступном ученику уровне.
В середине семидесятых годов в программное содержание младшей ступени средних школ Японии, наряду с разделами «Числа и алгебраические выражения», «Функции», «Геометрические фигуры», был включен раздел «Комбинаторика. Вероятность и статистика».
В процессе изучения данного раздела японские школьники учатся целенаправленно собирать данные, располагать их в виде таблиц, графов, чтобы усмотреть закономерность в их поведении (частота распределений по гистограмме, относительная частота и выборочная функция распределения: смысл среднего значения и разброса случайной величины). Затем вводится понятие вероятности как относительной частоты, полученной в результате большого числа наблюдений и проб.
В американских школах в содержательную часть стандарта (1989г.) начальной школы (I-IV классы) включен раздел «Элементарные основы статистики, комбинаторики и вероятностей»; средней ступени (V-VIII классы) - «Статистика и вероятность», старшей школы (IX-XII классы) - «Статистика. Вероятность. Дискретная математика».
Попытки включения элементов комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики были и в Российской общеобразовательной школе. Целесообразность их введения в школьный курс математики неоднократно отмечалась в работах Б.В. Гнеденко (20), Г.В. Дорофеева (26).
В 1967 году в факультативный курс X класса были включены следующие вопросы:
1. Начала комбинаторики и вычисление вероятностей при помощи подсчета числа благоприятствующих случаев.
2. Операции над событиями, теорема сложения вероятностей, условные вероятности и независимость событий.
3. Независимые повторные испытания с постоянной вероятностью, теорема Бернулли (без доказательства), заключительная беседа о различных областях науки и практической деятельности.
4. Математическое ожидание. Дисперсия и закон больших чисел (доказательство в форме теоремы Чебышева).
Возможность включения элементов комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики нашла отражение в целом ряде исследований 70-80 годов прошлого века Блонский П. П., Бондаренко С.М., Гальперин П.Я., Загашев И. [8, 9, 19, 27].
Выделению сквозной вероятностно-комбинаторной линии в школьном курсе математики посвящены исследования Л.М. Кабековой (30), А.Я. Дограшвили (25). В работах данных авторов приводятся аргументы в пользу совместного изучения элементов комбинаторики и теории вероятностей, связанных как обособленностью элементов комбинаторики от других тем, так и особенностью их содержания. В связи с этим, на усвоение комбинаторики тратится много времени, что не позволяет глубоко изучить вопросы теории.
По мнению Л.М.Кабековой, изучение элементов комбинаторики внутри раздела «Элементы теории вероятностей» позволит отказаться от решения искусственных задач по комбинаторике и тем самым сэкономить время для более глубокого курса теории вероятностей. Этот путь дает возможность комбинаторику - самостоятельную область математики со своими задачами и со своими методами - рассматривать как составную часть теории вероятностей с вероятностными выводами основных формул. При этом учащиеся знакомятся и с комбинаторными методами (30).
Особый интерес с точки зрения проводимого исследования представляет работа А.Я. Дограшвили (25), посвященная формированию у учащихся восьмилетней школы умений и навыков решения комбинаторных задач.
Предложенная автором система комбинаторных и вероятностных понятий предусматривает ознакомление учащихся со следующими вопросами: сочетания, число сочетаний, упорядоченная пара, размещения, перестановки; опыт, его исходы, равновозможность исходов; случайное событие, благоприятствующие ему исходы опыта; вероятность события, невозможные и достоверные события; среднее арифметическое; геометрические вероятности.
С методической точки зрения представляет интерес сам процесс решения комбинаторных задач, который автор представляет следующими этапами:
1. Изучение условия задачи. Здесь прежде всего, необходимо четко выявить, что является элементами рассматриваемого множества. Особое внимание при решении комбинаторных задач обращается на то, существен или нет порядок расположения элементов.
2. Вычисления. На этом этапе проводится требуемый расчет: либо посредством систематического перебора, либо с применением рассмотренных выше правил подсчета.
3. Представление решения задачи. На этом этапе требуется представить итоговый результат в наглядной форме и объяснить его смысл. В некоторых случаях на этом этапе возможна постановка вопроса о практическом применении полученного математического результата.
Представляет интерес исследование А.П. Шиховой «Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе» [53].
Предлагая изучать комбинаторику в IX классе, автор отмечает необходимость подготовительной работы в предшествующих классах, т.к. локальное изучение темы приводит к нарушению разумного соотношения между развивающим и формально-алгоритмическим аспектами изучения комбинаторики и учащиеся, ранее не встречавшиеся с комбинаторными задачами, не успевают за короткое время овладеть комбинаторным стилем мышления.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Абдулманов Р. Н. Клименченко В. В., Шихалиев X. Ш. Различные комбинаторные упражнения. //Нач. школа, - 2014.-№5
2. Азовский В. В. Элементы комбинаторики в примерах и задачах: Пособие по решению задач / В. В. Азовский, Е. И. Томина, Т. В. Фомина; Самар. ин-т повышения квалификации и переподгот. работников образования .- Самара : Изд-во СИПКРО, 2009.- 51 с.
3. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах /Под ред. М. И. Моро, А. М. Пышкало,- М.: Педагогика, 1977.- 248 с.
4. Артемов А. К., Истомина Н. Б., Микулина Г. Г. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах. М.,2006.
5. Белокурова Е. Е. Методика обучения младших школьников проведению комбинаторных рассуждений при решении задач. Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена. –Спб, -2012.-67с.
6. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций – М.: изд. Центр ВЛАДОС, 2007-455 с.
7. Белошистая А.В. Обучение решению задач в начальной школе. Книга для учителя. –М.: «ТИД» «Русское слово - РС», 2003-288 с.
8. Блонский П. П. Избранные психологические произведения. -М.: Просвещение, 1964.- 547 с.
9. Бондаренко С. М. Учите детей сравнивать.- М.: Знание, 1981.- 96 с.
10. Бунимович Е.А. Вероятность и статистика : Пособие для общеобразоват. учеб. заведений : 5-9 кл. / Е. А. Бунимович, В. А. Булычев,- М.: Дрофа, 2002.-159с.

Весь текст будет доступен после покупки