Вклад Л. Эйлера в развитие математического анализа в XVIII в

Введение…………………………………………………………………………...3
1 Развитие математического анализа в XVIII веке...…………………………...9
2 Развитие основных понятий математического анализа в XVIII веке……....11
3 Дифференциальное исчисление………………………………………………14
4 Интегральное исчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений………………………………………………………………………...15
5 Вклад Л. Эйлера в развитие математического анализа……………………..18
Заключение……………………………………………………………………….26
Список использованных источников…………………………………………...27

Весь текст будет доступен после покупки

В истории математики ХVIII век является периодом создания математики переменных величин. Начало этому периоду было положено во второй половине ХVII века. Становление капиталистической формации и, как следствие, развитие экономической общественной жизни людей стало приводить к этому времени к перестройке во всех сферах общества. В области математики это выразилось в основном в том, что под давлением проблем математического естествознания и техники развивались исследования, связанные с изучением движения, изменений, скоростей и других аспектов переменных величин. К концу века в математику прочно вошли новые исчисления переменных, в особенности анализ бесконечно малых. Эти исчисления начали занимать основное положение в математике.
В начале века основу и наиболее актуальную часть для математиков составлял анализ бесконечно малых, возникший в Англии в виде ньютоновского исчисления флюксий, а на континенте Европы в виде лейбницеского исчисления дифференциалов. В области неопределенного интегрирования продолжалась разработка приемов интегрирования в элементарных функциях.

Весь текст будет доступен после покупки

1 Развитие математического анализа в XVIII веке

После исследований Галилея, Кеплера и Ньютона стало ясной необходимость для развития математический науки, которая могла бы обьяснить рамки применимости (как в самой математике, так и в естествознании) дифференциального и интегрального исчислений, а также геометрии. Одной из характерных черт развития математического анализа в рассматриваемое время было его разветвление на несколько наук - отделение от основного ствола, дифференциального и интегрального исчисления, новых больших отделов - теории дифференциальных уравнений, в свою очередь разленившейся на учение об обыкновенных дифференциальных уравнениях и уравнения с частными производными, вариационного исчисления, теории специальных функций, начал тео-рии функций комплексного переменного. В рамках дифференциального и интегрального исчисления в качестве нового отдела вырастает анализ функций многих переменных. Другой особенностью анализа XVIII в. являлось его постепенное преобразование в науку, принципиально независимую от геометрии и механики. Понятие анализа все более выступает как своего рода алгебраические формы, обладающие прежде всего арифметическим содержанием, а некоторые соответствующие геометрические или физические представления - лишь как их конкретные интерпретации [3, C.206]. Становление анализа как самостоятельной науки отразилось на содержании основных монографий и учебных руководств. Например, первый том «Введения в анализ бесконечных» Эйлера, так же как его курсы дифференциального исчисления и интегрального исчисления с теорией дифференциальных уравнений, были изложены чисто аналитически и в них отсутствовали какие-либо геометрические и механические интерпретации или приложения. Это изменение положения анализа среди других математических наук сопровождалось переоценкой, точнее сказать, обесцениванием доказательств, состоящих в обращении к интуитивно-физической или геометрической наглядности. Впрочем, ученые XVIII в. не питали какого-либо недоверия к механической или геометрической интуиции, ограниченность которой обнаружилась много позднее. В безусловном существовании таких величин, как площадь или длина непрерывной кривой и других, аналогичных, никто не сомневался. Некоторые математики по-прежнему считали правомерным доказать аналитические предложения с помощью обращения к пространственным представлениям.
Ярко и последовательно выразил убеждение в необходимости самостоятельного обоснования анализа знаменитый чешский мыслитель Бернард Больцано, последний в ряду великих математиков-любителей, философ и богослов по образованию. Свою концепцию математики и, в частности, анализа Больцано высказал в брошюре, посвященной доказательству того свойства непрерывной функции одного переменного, что при перемене знака она по крайней мере один раз принимает нулевое значение. Перечисляя многочисленные доказательства теоремы, которой посвящен его труд, среди них Кестнера, Клеро, Лакруа и Лагранжа, Больцано разделяет их на две группы. Доказательства одной группы основаны на представлении, что непрерывная линия, чьи ординаты сперва положительны, а затем отрицательны (или наоборот), должна пересекать ось абсцисс в какой-либо точке между этими ординатами. В другой группе доказательств дело сведено к рассмотрению прямолинейного движения двух тел, из которых одно сначала находится позади другого, а затем впереди, так что первое в какой-то момент проходит мимо второго.

Весь текст будет доступен после покупки

1. Артемьева, Т.В. Леонард Эйлер как философ / Т.В. Артемьева // Философия в Петербургской Академии наук XVIII века. – СПб.: 1999. - С. 182-189.
2. Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках / С.Г. Гиндикин // – 3-е изд., расш. – М.: МЦНМО, 2001. –С. 465.
3. Делоне, Б.Н. Леонард Эйлер / Б.Н. Делоне // Квант. – 1974. – № 5. - С. 206.
4. К 250-летию со дня рождения Л. Эйлера: Сборник. – Изд-во АН СССР, 1958. - С. 174-178.
5. Летопись Российской Академии наук. Том 1. 1724-1802. – М.: Наука, 2000. - С. 96-105.
6. Математика XVIII столетия / Под редакцией А. П. Юшкевича. – М.: Наука, 1972. – Т. 3. – (История математики в 3-х томах). – С. 87-89.
7. Полякова, Т.С. Леонард Эйлер и математическое образование в России. / Т.С. Полякова // –КомКнига, 2007. - С. 184.
8. Прудников, В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. / В.Е. Прудников // – 1956. – С. 211.

Весь текст будет доступен после покупки