ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 6
1.1. Основные понятия теории чисел 6
1.2. Роль, значение и особенности изучения элементов теории чисел в учебниках математики 11
Выводы по главе 1 19
2. РАЗРАБОТКА И АПРОБАЦИЯ ПРОГРАММЫ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО ИЗУЧЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 21
2.1. Программа элективного курса 21
2.2. Апробация элективного курса 28
Выводы по главе 2 48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 50
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 53
ПРИЛОЖЕНИЕ Технологические карты занятий элективного курса 59

Весь текст будет доступен после покупки

Актуальность данного исследования связана с тем, что реформы математического образования сохраняют некоторые ключевые темы, которые необходимы для полного понимания математики и ее методов. Эти темы содержат математические знания, которыми должен обладать каждый в современном обществе. Они не только применяются для решения практических задач в повседневной жизни, но и используются в решении математических и прикладных проблем.

Одной из таких тем является теория чисел, которая является одной из древнейших математических теорий. Она использует различные методы, включая аналитические, алгебраические и геометрические, для решения теоретико-числовых проблем. Важное понятие в этой теории - это делимость, которая является фундаментальным понятием алгебры, арифметики и теории чисел.

Исследователи уже с древних времен занимались вопросами делимости чисел. Они классифицировали натуральные числа на различные классы, такие как совершенные числа, дружественные числа, фигурные числа и простые числа. Евклид в своей книге "Начала" доказал бесконечность множества простых чисел, а Эратосфен разработал "решето Эратосфена" для составления таблиц простых чисел. Паскаль внес вклад в изучение признаков делимости чисел, найдя алгоритм для нахождения этих признаков.

Вопросы делимости чисел изучались многими математиками и методистами на протяжении долгого времени. Современные исследователи продолжают работу в этой области, рассматривая вопросы теории чисел в школьном курсе математики и исследуя возможности и проблемы использования элементов теории чисел в математической подготовке школьников.

Весь текст будет доступен после покупки

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1.1. Основные понятия теории чисел

Рассмотрим основные понятия в теории чисел. Сначала было замечено, что некоторые числа могут быть представлены как произведение двух или более множителей, такие как 8, 9, 30 и т.д. [Мартынов, 2004]. В то же время другие числа, например, 3, 7, 13, 37, не могут быть разложены на множители таким образом. Если число c = a * b представляется как произведение двух чисел a и b, то a и b называются множителями или делителями числа c. Каждое число также имеет тривиальное разложение на множители c = 1 * c = c * 1. Мы называем числа 1 и c тривиальными делителями числа c.

Любое число c>1, которое может быть разложено на множители, называется составным числом. Если число c имеет только тривиальное разложение на множители, то оно называется простым числом. Среди первых 100 чисел, 25 из них являются простыми: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Все остальные числа, кроме 1, являются составными числами.

Теорема 1 гласит, что любое целое число c>1 является либо простым числом, либо имеет простой множитель. Доказательство этой теоремы основано на предположении, что если число c не является простым, то оно имеет наименьший нетривиальный множитель p, который также является простым числом [Клейн, 1987].

Как можно определить, является ли произвольное число простым или составным, и если оно составное, как можно найти его нетривиальный делитель?

Один из способов - проверить, делится ли число c на простые числа, не превосходящие квадратный корень из c. Поскольку при разложении на множители оба множителя a и b не могут быть больше, чем квадратный корень из c, проверка деления числа c на простые числа до квадратного корня из c может определить наличие делителя у числа c.

Другой простой способ - использование таблиц простых чисел. За последние 200 лет было создано много таблиц простых чисел. Наиболее полной из них является таблица Д.Х. Лемера, в которой содержатся все простые числа до 10 000 000 [Матысик, 2013].

Весь текст будет доступен после покупки

1. Аиерлэнд, К. Классическое введение в современную теорию чисел / К. Аиерлэнд, М. Роузен. – М.: Мир, 1987. – 416 с.
2. Алфутова, Н.Б. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ / Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. – М.: МЦНМО, 2002. – 264 с.
3. Ашурова, Д.Н. Некоторые применения элементов теории чисел в школьнои математике / Д.Н. Ашурова, Б.А. Низомова // Студенческии вестник. – 2022. – № 1-1 (193). – С. 53-55.
4. Виноградов И.М. Основы теории чисел / И.М. Виноградов. – Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. – 176 с.
5. Джулаева, А.А. Применение элементов теории чисел в 19 задании ЕГЭ по математики профильного уровня / А.А. Джулаева // Colloquium-Journal. – 2020. – № 8-4 (60). – С. 18-20.
6. Дорофеев, Г.В. Математика, 6. Академическии школьныи учебник. / Г.В. Дорофеев и [др.]. – М., 2010. – 303 с.
7. Елкина, А.Д. Некоторые вопросы теории сравнении в школьном курсе математики / А.Д. Елкина // Студенческая наука и XXI век. – 2017. – № 15. – С. 259-260.

Весь текст будет доступен после покупки